Moto lungo una circonferenza (Liceo)

Il moto circolare uniforme è il moto di un punto materiale P che descrive una circonferenza con velocità v costante in modulo.

La traiettoria descritta dal punto P è una circonferenza. Il modulo della velocità è costante ( se va a 10 m/s sempre a 10 m/s andrà). La direzione della velocità varia istante per istante.

Si tratta di un moto periodico.

Se ad un certo istante il punto P si trova in A, dopo un giro completo si trova di nuovo in A, dopo due giri si ritrova ancora in A e così via.

Diamo ora alcune definizioni.

Si definisce periodo il tempo impiegato dal punto materiale per compiere un giro completo. Il periodo si indica con la lettera T e si misura in secondi ( dato che è un tempo).

Si definisce frequenza il numero di giri compiuti dal punto materiale in un secondo (nell’unità di tempo). La frequenza viene indicata con la lettera f o con la lettera ν e si misura in giri/secondi o semplicemente s^-1 che viene chiamato hertz , simbolo Hz.

Questo significa che, se impieghiamo 1/2 secondo, ossia 0,5 s per fare un giro, allora nel tempo di 1 secondo ne facciamo 2 di giri.

$\displaystyle{\mathbf{T=0,5s}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,5}=2Hz}}$

La frequenza è il reciproco del periodo e, naturalmente, anche il periodo è l’inverso della frequenza.

Abbiamo detto che il modulo della velocità è sempre costante, allora, per calcolarla basta considerare uno spazio che conosciamo e come tempo il tempo che impiega a percorrerlo.

Sappiamo che un giro completo equivale alla lunghezza della circonferenza 2 π r (r è il raggio della circonferenza), conosciamo anche il tempo che impiega a percorrere la circonferenza. Questo tempo lo abbiamo chiamato periodo T.

$\displaystyle{\mathbf{v=\frac{s}{t}=\frac{2\, \pi\, r}{T}}}$

Dato che

$\displaystyle{\mathbf{T=\frac{1}{f}}}$

Al posto di 1/T metto la frequenza f

$\displaystyle{\mathbf{v=2\pi\, f}}$

Nei moti circolari si usa anche un’altra velocità chiamata velocità angolare e indicata con la lettera ω. Questa velocità non è legata allo spazio percorso lungo la circonferenza, ma all’angolo percorso.

Per andare dalla posizione A alla posizione B posso dire di aver percorso lo spazio s, ma anche l’angolo α.

Quindi la velocità angolare sarà l’angolo percorso nel tempo t

$\displaystyle{\mathbf{\omega=\frac{\alpha}{t}}}$

Nel moto circolare uniforme la velocità angolare ω è costante. Per calcolarla prendiamo T periodo come tempo e come angolo tutto un giro, ossia 2π.

$\displaystyle{\mathbf{\omega=\frac{2\pi}{T}}}$

ma f = 1/T

$\displaystyle{\mathbf{\omega =2\pi f }}$

Prima abbiamo trovato che

$\displaystyle{\mathbf{v=\frac{2\, \pi\, r}{T}}}$

Se al posto di 2π/T metto ω avrò

$\displaystyle{\mathbf{v=\omega\, r}}$

O anche

$\displaystyle{\mathbf{\omega =\frac{v}{r}}}$

A cosa serve introdurre una velocità angolare quando abbiamo già una velocità v detta tangenziale ?

Per capirlo, invece di una circonferenza consideriamo un disco pieno di raggio r.

I punti sul bordo del disco, quelli a distanza r dal centro, hanno una velocità

$\displaystyle{\mathbf{\qquad v=\frac{2\pi r}{T}}}$

Quelli a distanza r₁, punti interni al disco hanno velocità

$\displaystyle{\mathbf{\qquad v=\frac{2\pi r_1}{T}}}$

La velocità varia al variare della distanza dal bordo.

La velocità angolare, che è legata all’angolo, è uguale per tutti i punti del disco, sia interni che del bordo.

Più un punto è interno, più vicino al centro e minore è la sua velocità tangenziale perché è più piccola la circonferenza che deve percorrere per fare un giro completo. La velocità angolare, invece, è sempre la stessa.

Torniamo un attimo indietro alla lezione sui moti con traiettoria curvilinea dove abbiamo dimostrato che, se anche il moto avviene a velocità costante, è presente un’accelerazione. (Ciò dipendeva dal fatto che il vettore velocità varia in direzione). Questa accelerazione è presente nel moto circolare uniforme, che è comunque un moto curvilineo, anche ora la velocità varia da punto a punto in direzione.

Si tratta dell’accelerazione centripeta, essa è perpendicolare alla velocità tangenziale e orientata verso il centro.

La velocità è tangente alla traiettoria, l’accelerazione centripeta è normale alla velocità, quindi alla traiettoria e diretta sempre verso il centro.

Il valore di questa accelerazione è dato dalla relazione

$\displaystyle{\mathbf{a_c=\frac{v^2}{r}}}$

Oppure, dato che v = ω r

$\displaystyle{\mathbf{a_c=\omega^2 r}}$

Dalla prossima lezione iniziamo la Dinamica

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