Campo elettrico alla superficie di separazione di due dielettrici

Vogliamo studiare cosa succede al campo elettrico E alla superficie di separazione di due dielettrici di costanti dielettriche ε_r1 e ε_r2.

In generale, le intensità di polarizzazione nei due mezzi risultano diverse, si hanno quindi cariche di polarizzazione sulla superficie di separazione.

Ne segue che i campi elettrici nei due mezzi sono diversi.

Cerchiamo di spiegarci meglio.

L’effetto della polarizzazione in un dielettrico, porta a due effetti :

1 – Una distribuzione superficiale di carica con densità σ

$\displaystyle{\mathbf{\sigma=\overrightarrow{\mathbf{P}}\cdot\hat{n}}}$

n è il versore della normale alla superficie limite.

2 – Una distribuzione spaziale all’interno del volume del dielettrico con densità ρ

$\displaystyle{\mathbf{\rho=-div\overrightarrow{\mathbf{P}}}}$

Questa distribuzione è nulla se la densità di polarizzazione è uniforme.

Una distribuzione del tipo

$\displaystyle{\mathbf{\rho=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\sigma=\overrightarrow{\mathbf{P}}\cdot\hat{n}}}$

si ha nel caso di un condensatore con dielettrico. Nel caso di due dielettrici, ovviamente diversi, le intensità di polarizzazione sono diverse sulla superficie limite e si vengono a formare cariche di polarizzazione.

Vediamo allora come varia il campo elettrico alla superficie di separazione di due dielettrici. Studiamo separatamente le due componenti, tangenziale e normale di E alla superficie.

Componente tangenziale

Consideriamo una linea chiusa (in blù) con due lati, di lunghezza L, paralleli alla superficie di separazione.

Calcoliamo la circuitazione di E lungo questa linea chiusa (trascuriamo i due lati normali alla superficie che riteniamo molto piccoli rispetto a L), essa vale :

$\displaystyle{\mathbf{L\, E_{t1}-L\, E_{t2}}}$

E_t1ed E_t2sono le componenti tangenziali dei campi elettrici nei due mezzi.

Quanto vale la circuitazione del campo elettrico ? Sappiamo che E è irrotazionale

$\displaystyle{\mathbf{rot\overrightarrow{\mathbf{E}}=0}}$

Se applichiamo il teorema di Stokes, che abbiamo visto nella seconda equazione di Maxwell

$\displaystyle{\mathbf{\int_S rot\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}\, dS=\int_{\gamma}\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{l}}}}$

vediamo che la circuitazione è pari a zero. Possiamo allora porre

$\displaystyle{\mathbf{L\, E_{t1}-L\, E_{t2}=0}}$

Ossia

$\displaystyle{\mathbf{L\, E_{t1}=L\, E_{t2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{ E_{t1}=E_{t2}}}$

Anche se il campo elettrico ha una discontinuità alla superficie di separazione, quindi anche se linee di forza hanno un brusco cambiamento in direzione, la componente tangenziale di E non cambia.

A questo punto è ovvio che cambierà la componente normale del campo elettrico. Prima vediamo cosa succede al vettore spostamento elettrico D.

Calcoliamo il flusso del vettore spostamento elettrico attraverso un cilindro chiuso come in figura.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi (\overrightarrow{\mathbf{D}})=D_{n1}\, S_1-D_{n2}\, S_2}}$

Dato che, all’interno del cilindro, ci sono solo cariche di polarizzazione e non sono presenti cariche libere, se applichiamo il teorema di Gauss si ha

$\displaystyle{\mathbf{D_{n1}\, S_1-D_{n2}\, S_2=0}}$

Visto che S₁= S₂= S

$\displaystyle{\mathbf{D_{n1}=D_{n2}}}$

Si conserva la componente normale del vettore spostamento elettrico. In base a questo, per le componenti normali del campo elettrico possiamo scrivere

$\displaystyle{\mathbf{\epsilon_o\, \epsilon_{r1}\, E_{n1}=\epsilon_o\, \epsilon_{r2}\, E_{n2}}}$

Ossia

$\displaystyle{\mathbf{\frac{E_{n1}}{E_{n2}}=\frac{\epsilon_{r2}}{\epsilon_{r1}}}}$

Questa è la relazione che lega le componenti normali del campo elettrico.