Moti relativi

Iniziamo lo studio dei moti relativi, attenzione non sono semplici.

Immaginiamo due osservatori, quindi due sistemi di riferimento, il primo in un treno in movimento, il secondo fermo lungo i binari.

L’osservatore sul treno, comodamente seduto, pensa di stare fermo. L’osservatore vicino ai binari lo vede muovere alla velocita’ del treno.

Questo vuol dire che le misure cambiano a seconda dell’osservatore. Allora non e’ importante solo valutare le grandezze cinematiche, ma anche da dove viene fatta l’osservazione.

Per questo studio introduciamo un sistema di riferimento fisso , detto assoluto e un sistema di riferimento mobile, detto relativo.

Sistema fisso

gli assi sono fermi

i versori

$\displaystyle{\mathbf{\hat{i} , \hat{j} , \hat{k}}}$

sono fissi, non cambiano l’orientamento

Sistema mobile

Gli apici distinguono il sistema mobile da quello fisso

I versori non sono fissi perche’ gli assi possono ruotare

Vogliamo studiare le relazioni che intercorrono tra i due sistemi. Prima pero’ dobbiamo fare una distinzione. Sappiamo che qualunque moto puo’ essere decomposto in due categorie principali

– Traslazione

– Rotazione

Sappiamo che ogni altro moto puo’ essere visto come sovrapposizione di questi due atti elementari.

Moto di pura traslazione, non c’e’ nessuna variazione nell’orientamento degli assi

Gli assi X’ e Y’ hanno subito una rotazione attorno all’asse Z’, i versori hanno variato il loro orientamento

I due casi sono molto diversi e portano a risultati ben distinti. Studiamo i due casi separatamente.

– Moti relativi per semplice traslazione

Il sistema mobile ha subito una traslazione ΔS_t dove il pedice t indica trascinamento. Il punto P non si e’ spostato nel sistema mobile e le sue coordinate, in tale sistema, sono rimaste le stesse. Dal sistema fisso, invece, vediamo che il punto P ha subito uno spostamento pari a ΔS_t. Se si sposta anche il punto P, cosa succede ?. Immaginiamo il caso in cui il sistema mobile sia il treno, il fisso i binari e noi che ci spostiamo dentro al treno, noi siamo il punto P.

Analizziamo i vari spostamenti

ΔSr e’ detto spostamento relativo, e’ il nostro spostamento nel treno, e’ il movimento nel sistema mobile X’ Y’

ΔSt e’ lo spostamento di trascinamento, e’ lo spostamento del sistema mobile visto da quello fisso

ΔSa e’ lo spostamento assoluto, e’ lo spostamento del punto P visto dal sistema fisso, da X Y

$\displaystyle{\mathbf{\Delta{\overrightarrow{s_a}} = \Delta{\overrightarrow{s_r}} + \Delta{\overrightarrow{s_t}}}}$ .

Se ora indichiamo con Δt il tempo impiegato dal punto a spostarsi di ΔSr , possiamo passare alle velocita’

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\Delta{\overrightarrow{S_a}}}{\Delta{t}} = \frac{\Delta{\overrightarrow{S_r}}}{\Delta{t}} + \frac{\Delta{\overrightarrow{S_t}}}{\Delta{t}} }}$

Queste sono velocita’ medie, per passare alle velocita’ istantanee, passiamo al limite per Δt→0

$\displaystyle{\mathbf{\lim_{\Delta{t}\rightarrow 0}\frac{\Delta{\overrightarrow{S_a}}}{\Delta{t}} = \lim_{\Delta{t}\rightarrow 0}\frac{\Delta{\overrightarrow{S_r}}}{\Delta{t}}+\lim_{\Delta{t}\rightarrow 0}\frac{\Delta{\overrightarrow{S_t}}}{\Delta{t}} }}$ .

Il primo limite rappresenta la velocita’ istantanea vista da un osservatore nel sistema fisso, il secondo limite rappresenta la velocita’ istantanea vista da un osservatore nel sistema mobile, l’ultimo rappresenta la velocita’ del sistema mobile, velocita’ di trascinamento del nostro treno

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{v_a}=\overrightarrow{v_r}+\overrightarrow{v_t}}}$ .

Alla fine, qual’e’ la velocita’ del punto materiale P ? Dipende dal sistema di riferimento, dal sistema fisso e’ V_a . da quello mobile e’ V_r .

Vogliamo passare alle accelerazioni nei moti relativi. Per far questo scomponiamo i vettori velocita’ e poi deriviamo componente per componente. Perche’ tutto questo lavoro ? perche’ ci tornera’ utile piu’ avanti, perche’ impariamo qualche cosa e perche’ capiamo esattamente come escono fuori le varie accelerazioni.

Iniziamo dal vettore V_a :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{V_a}=v_{a,x}\hat{i}+V_{a,y}\hat{j}+V_{a,z}\hat{k}}}$ .

dove Va,x e’ la componente della Va secondo x, Va,y e’ la componente secondo y e Va,z secondo z

Ora vediamo il vettore Vr :

Attenzione, questo va scomposto secondo x’ y’ z’

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{V_r}=V_{r,x'}\hat{i'}+V_{r,y'}\hat{y'}+V_{r,z'}\hat{k'}}}$ .

Ora V_t , che va scomposto secondo x y e z

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{V_t}=V_{t,x}\hat{i}+V_{t,y}\hat{j}+V_{t,z}\hat{k}}}$ .

In definitiva avremo :

$\displaystyle{\mathbf{(v_{a,x}\hat{i}+V_{a,y}\hat{j}+V_{a,z}\hat{k})=(V_{r,x'}\hat{i'}+V_{r,y'}\hat{y'}+V_{r,z'}\hat{k'})+(V_{t,x}\hat{i}+V_{t,y}\hat{j}+V_{t,z}\hat{k})}}$ .

Per passare dalle velocita’ alle accelerazioni dobbiamo derivare

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d}{dt}(v_{a,x}\hat{i}+V_{a,y}\hat{j}+V_{a,z}\hat{k})=\frac{d}{dt}(V_{r,x'}\hat{i'}+V_{r,y'}\hat{y'}+V_{r,z'}\hat{k'})+\frac{d}{dt}(V_{t,x}\hat{i}+V_{t,y}\hat{j}+V_{t,z}\hat{k})}}$ .

Occorre notare ora che i versori del sistema fisso sono costanti, non si spostano, quindi non rientrano nella derivazione. Anche i versori del sistema mobile sono costanti nel tempo perche’ il sistema si muove solo per traslazione, quindi non hanno variazioni in direzione, anche questi non vanno derivati. Deriviamo soltanto le velocita’ :

$\displaystyle{\mathbf{(a_{a,x}\hat{i}+a_{a,y}\hat{j}+a_{a,z}\hat{k})=(a_{r,x'}\hat{i'}+a_{r,y'}\hat{y'}+a_{r,z'}\hat{k'})+(a_{t,x}\hat{i}+a_{t,y}\hat{j}+a_{t,z}\hat{k})}}$ .

Ossia :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a_a}=\overrightarrow{a_r}+\overrightarrow{a_t}}}$

Riassumiamo quello che abbiamo trovato

$\displaystyle{\mathbf{\Delta{\overrightarrow{S_a}}=\Delta{\overrightarrow{S_r}}+\Delta{\overrightarrow{S_t}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{V_a}=\overrightarrow{V_r}+\overrightarrow{V_t}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a_a}=\overrightarrow{a_r}+\overrightarrow{a_t}}}$

Vediamo dei casi particolari, che sono poi quelli che capitano negli esercizi

Supponiamo che il sistema mobile si muova con velocita’ costante

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{V_t}=cost \Longrightarrow \overrightarrow{a_t}=0}}$

Da cui :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a_a}=\overrightarrow{a_r}}}$

Questo vuol dire che l’accelerazione misurata dal sistema fisso e’ uguale a quella misurata dal sistema mobile, in questo caso parliamo di sistema inerziale. Se le accelerazioni nei due sistemoi sono le stesse potrei scambiare i due sistemi tra di loro e pensare che quello fisso e’ mobile e quello mobile e’ fisso. E’ come dire che se stiamo fermi, comodamente seduti su di un treno possiamo pensare che noi siamo fermi e tutto il resto si sta’ muovendo nel verso contrario. Tratteremo l’argomento piu’ avanti.

Altro caso: consideriamo due punti materiali A e B che si muovono indipendentemente, uno con velocita’ V_a e l’altro con velocita’ V_b

Un osservatore in un sitema fisso vede che le loro velocita’ sono V_a e V_b . Che velocita’ vediamo da un sistema mobile solidale con A ? Stiamo parlando della velocita’ di B relativa ad A, Vb,a

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{V_a}}}$ : e’ la velocita’ assoluta di A perche’ e’ misurata nel sistema fisso

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{V_b}}}$ : e’ la velocita’ assoluta di B perche’ e’ misurata nel sistema fisso

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{V_{b,a}}}}$ : e’ la velocita’ relativa di B rispetto ad A ed e’ misurata nel sistema mobile di A

In generale sappiamo che $\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{V_{ass}}=\overrightarrow{V_r}+\overrightarrow{V_t}}}$ – Questa e’ la velocita’ assoluta vista da un sistema fisso

La Vb e’ la Vbass, la Vt e’la Va e la Vr e’ la Vba

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{V_{bass}}=\overrightarrow{V_{b,a}}+\overrightarrow{V_a}}}$ .

Allora la Vba risulta pari a :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{V_{b,a}}=\overrightarrow{V_b}-\overrightarrow{V_a}}}$ .

La velocita’ relativa di un corpo rispetto ad un altro e’ la velocita’ assoluta del corpo meno la velocita’ assoluta dell’altro che e’ sede del sistema mobile.

Altro caso che ricorre spesso negli esercizi:

Consideriamo un ascensore che sale con V = costante

Noi siamo dentro l’ascensore e lanciamo una moneta, vogliamo trovare dopo quanto tempo torna nella nostra mano. La moneta viene lanciata con velocita’ V₀ . E’ una situazione che abbiamo gia’ affrontato, ma non dentro un ascensore che sale, ma da terra e abbiamo trovato che questo tempo e’

$\displaystyle{\mathbf{t=\frac{2v_0}{g}}}$

La velocita’ dell’ascensore e’ la velocita’ di trascinamento, e’ la velocita’ del sistema mobile, se questa velocita’ e’ costante ne segue che l’accelerazione di trascinamento e’ nulla

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a_a}=\overrightarrow{a_r}+\overrightarrow{a_t}}}$ .

Se $\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{V_t}=cost \Longrightarrow \overrightarrow{a_t}=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a_a}=\overrightarrow{a_r}=\overrightarrow{g}}}$

Iniziamo lo studio dal sistema mobile. Siamo nell’ascensore e lanciamo la moneta con velocita’ V₀ , l’accelerazione a cui e’ sottoposta la moneta e’ g

a_y’ = -g c’e’ il segno meno perche’ g ha verso opposto al nostro asse di riferimento y’

Integrando troviamo la velocita’

V_y’ = V₀ – g t

Integrando di nuovo troviamo lo spazio percorso

Y’ = V₀ t – 1 / 2 g t²

La moneta torna nel punto dove e’ stata lanciata quando Y’= 0 dato che poniamo li’ l’origine degli spazi e dei tempi.

$\displaystyle{\mathbf{v_0t=\frac{1}{2}gt^2=0 \Longrightarrow t=\frac{2v_0}{g}}}$ .

Cosa che sapevamo gia’. Andiamo ora nel sistema fisso.

La velocita’ di lancio della moneta non e’ V₀ per un osservatore nel sistema fisso, ma V₀ + V_asc

Per quanto riguarda l’accelerazione abbiamo visto che a_a = -g perche’ l’ascensore sale con velocita’ costante.

Integrando

V_y = ( V₀ + V_asc) -g t

Integrando ancora

$\displaystyle{\mathbf{y=(v_0+v_{asc})t-\frac{1}{2}gt^2}}$ .

Questa e’ una parabola diversa da quella trovata nel sistema mobile. Attenzione la moneta parte da quota zero, ma non torna nella mano a quota zero, l’ascensore nel frattempo e’ salito. Cosa devo imporre per mettermi nella condizione cercata ? La moneta ci ricade in mano quando la parabola che rappresenta lo spazio che percorre si incontra con Y_asc , ossia alla quota a cui e’ arrivato l’ascensore durante il volo della moneta.

Y_asc = V_asc t dato che si muove di moto uniforme

Poniamo Y = Y_asc

$\displaystyle{\mathbf{(v_0+v_{asc})t-\frac{1}{2}gt^2=v_{asc}t \Longrightarrow t=\frac{2v_0}{g}}}$ .

Siamo arrivati allo stesso risultato del sistema mobile. Questo perche’ l’ascensore si muove di moto uniforme.

Nella seconda parte della lezione affrontiamo il trascinamenti per rotazione. Attenzione non e’ argomento facile !

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