Teoria cinetica dei gas

La teoria cinetica dei gas è un argomento molto spinoso, quindi mettetevi comodi e cominciamo.

Consideriamo un contenitore con del gas a temperatura T, le molecole, a causa dell’agitazione termica, sono in movimento. Se aumentiamo la temperatura, esse aumentano la loro agitazione schizzando da tutte le parti e urtando contro le pareti del recipiente. Ogni volta che urtano contro il contenitore esercitano una pressione. La parete subisce una forza, o meglio un impulso che porta a forze superficiali.

Se hai problemi con il concetto di pressione vedi Fluidi-Prime definizioni-Pressione

Ogni piccola massa m_i possiede una velocità V_i . Nel nostro studio non consideriamo la forza di gravità perchè le masse sono talmente veloci che, nel breve tempo tra un urto e il successivo, non riesce ad imprimergli il moto parabolico. Se non sai di cosa parliamo vedi Moto parabolico

Facciamo due ipotesi :

Le masse non si urtano tra di loro

Le masse sono tutte uguali (Stesso gas)

Iniziamo con il valutare la quantità di moto complessiva del sistema delle masse

$\displaystyle{\mathbf{\sum_{i} m\overrightarrow{\mathbf{v}}_i=0}}$

La quantità di moto complessiva del sistema è pari a zero. Se così non fosse avremmo uno spostamento del gas ad esempio verso destra, o verso sinistra, invece, mediamente, il centro di massa non subisce variazioni. Le particelle sono distribuite in maniera equiprobabile intorno al centro di massa.

Dato che abbiamo supposto che le molecole hanno tutte la stessa massa, la possiamo portare fuori dal segno di sommatoria

$\displaystyle{\mathbf{m\sum_{i} \overrightarrow{\mathbf{v}}_i=0}}$

Da cui ricaviamo che la somma delle velocità è nulla

$\displaystyle{\mathbf{\sum_{i} \overrightarrow{\mathbf{v}}_i=0}}$

Semplicemente vuol dire che, se c’è una velocità verso destra, ne abbiamo una anche verso sinistra che va a compensare.

Vediamo cosa succede quando una molecola urta contro una parete.

La particella di massa m arriva alla parete con velocità v, che nella figura abbiamo anche scomposto lungo le direzioni x e y (v_x e v_y).

Durante l’urto nascono due impulsi, quello che la massa m da alla parete, I, e il controimpulso della parete I_m

La particella rimbalza a causa del controimpulso I_m che la riflette all’indietro. Dopo l’urto la massa m cambia direzione e la sua velocità diventa v’ .

Vogliamo trovare l’impulso che subisce la parete. Esso è uguale ed opposto ad I_m (potete rispolverare gli urti qui)

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{I}}=-\overrightarrow{\mathbf{I}}_m=-\Delta\overrightarrow{\mathbf{p}}=-m(\overrightarrow{\mathbf{v}}'-\overrightarrow{\mathbf{v}})=m(\overrightarrow{\mathbf{v}}-\overrightarrow{\mathbf{v}}')}}$

Ora dobbiamo notare che l’impulso stà solo lungo x, lungo le direzioni y e z non c’è. Non abbiamo variazione di quantità di moto lungo y e z

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases} \mathbf{I=m(v_x-v'_x)}\\ \mathbf{mv_y=mv'_y}\\\mathbf{mv_z=mv'_z}\end{cases}}}$

Ossia

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases} \mathbf{I=m(v_x-v'_x)}\\ \mathbf{v_y=v'_y}\\\mathbf{v_z=v'_z}\end{cases}}}$

La variazione di quantità di moto c’è dove c’è l’impulso. Quindi

$\displaystyle{\mathbf{I=m(v_x-v'_x)}}$

Supponiamo che l’urto sia elastico, si conserva allora l’energia, per energia intendiamo quella cinetica perchè sappiamo che durante l’urto l’energia potenziale non varia. L’espressione della conservazione dell’energia è

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\, mv^2=\frac{1}{2}mv'^2}}$

Che possiamo scrivere anche tramite le componenti

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}m(v^2_x+v^2_y+v^2_z)=\frac{1}{2}m(v'^2_x+v'^2_y+v'^2_z)}}$

Dato che v’_y = v_y e v’_z = v_z l’equazione diventa

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\,mv^2_x=\frac{1}{2}\, m v'^2_x}}$

Questa equazione ci dice che quelle due velocità, prima e dopo l’urto, devono essere uguali. Invece, l’espressione

$\displaystyle{\mathbf{I=m(v_x-v'_x)}}$

ci dice che non lo sono affatto, la loro differenza ci deve dare l’impulso.

Però, se v_x e v’_x sono opposte, ad esempio 2 e -2, eese non sono uguali, ma i loro quadrati si. Allora v_x e v’_x sono opposte, ossia c’è una riflessione.

$\displaystyle{\mathbf{v'_x=-v_x}}$

Per l’impulso I avremo

$\displaystyle{\mathbf{I=m(v_x-v'_x)=m(v_x-(-v_x))=2mv_x}}$

L’impulso che viene dato alla parete è pari a due volte la componente della quantità di moto che la molecola aveva prima dell’urto.

Abbiamo trovato l’impulso, ma siamo ancora ben lontani dall’aver esaurito la teoria cinetica dei gas, infatti questo vale per una molecola, dobbiamo vedere cosa accade quando sono tante. Quante sono le molecole che riescono ad arrivare alla parete e provocare un impulso ?

Vogliamo contare tutte le molecole che riescono ad arrivare sulla parete in un tempo Δt. Questo conteggio dipende dalla velocità, quindi contiamo tutte quelle che hanno la stessa velocità e che coprono lo spazio s = v Δt nell’intervallo di tempo Δt.

Per quanto detto fino ad ora, in realtà, contiamo tutte quelle che coprono lo spazio s = v_xΔt. In pratica quelle contenute nel parallelepipedo di base ΔS e altezza v_x Δt e di volume

$\displaystyle{\mathbf{\Delta v=h\Delta S=v_x\Delta S \Delta t}}$

Quante ce ne stanno ?

Partiamo dalla concentrazione

$\displaystyle{\mathbf{n=\frac{N}{V}}}$

Numero delle molecole, N, contenute nel volume V

$\displaystyle{\mathbf{N=n\,\Delta V=n\, v_x,\Delta S\, \Delta t}}$

Questo è il numero delle molecole che contribuiscono all’urto. La concentrazione n è la percentuale di quelle che tengono la direzione di v, le indichiamo con n(v) (n dipendente da v), sono quelle la cui velocità abbiamo studiato prima.

Torniamo all’impulso

$\displaystyle{\mathbf{I=2mv_x}}$

E’ l’impulso di ogni singola molecola. L’impulso di tutte quelle con velocità v sarà

$\displaystyle{\mathbf{I(\overrightarrow{\mathbf{v}})=NI=2m\, n(\overrightarrow{\mathbf{v}})v^2_x\, \Delta S\Delta t}}$

Questo è l’impulso dovuto a tutte le molecole che hanno la direzione di v, purtroppo ci sono altre molecole con altre velocità che, nel tempo Δt danno contributo all’impulso, ci dobbiamo mettere anche quelle.

Dobbiamo fare la sommatoria rispetto a tutte le possibili velocità

$\displaystyle{\mathbf{I_{tot}=2m\Bigl (\sum_{\overrightarrow{\mathbf{v}}}n(\overrightarrow{\mathbf{v}})v^2_x\Bigr )\Delta s\Delta t}}$

Attenzione : abbiamo parlato di equiprobabilità per le molecole, questo vuol dire che, se una molecola va verso la parete, un’altra andrà nella direzione opposta. Allora, nella formula appena vista, stiamo conteggiando anche quelle molecole che l’urto lo hanno già fatto e stanno tornando indietro. Per sistemare le cose dobbiamo semplicemente dividere per due.

$\displaystyle{\mathbf{I_{tot}=m\Bigl (\sum_{\overrightarrow{\mathbf{v}}}n(\overrightarrow{\mathbf{v}})v^2_x\Bigr )\Delta s\Delta t}}$

Non abbiamo ancora finito con la teoria cinetica dei gas, dobbiamo passare alla pressione sulla parete.

$\displaystyle{\mathbf{p=\frac{F}{\Delta S}}}$

La pressione è il rapporto tra la forza che subisce la parete e la sezione sempre della parete.

Sappiamo che

$\displaystyle{\mathbf{I=F\,\Delta t}}$

Quindi la forza totale sulla parete è

$\displaystyle{\mathbf{F_{tot}=\frac{I_{tot}}{\Delta t}}}$

e la pressione sarà

$\displaystyle{\mathbf{p=\frac{I_{tot}}{\Delta s\Delta t}=m\Bigl (\sum_{\overrightarrow{\mathbf{v}}}n(\overrightarrow{\mathbf{v}})v^2_x\Bigr )}}$

Dobbiamo calcolare quel termine tra parentesi tonde, ricorriamo alla statistica. Definiamo la velocità quadratica media

$\displaystyle{\mathbf{\overline{ v^2_x}=\frac{n_1\, v^2_{x_1}+n_2\, v^2_{x_2}+\cdots}{n_1+n_2+\cdots}}}$

Abbiamo n₁ molecole con velocità v²_x1 , n₂ con velocità v²_x2 e così via, fratto il numero delle occorrenze. Questa la possiamo scrivere come

$\displaystyle{\mathbf{\overline{ v^2_x}=\frac{\sum_{\overrightarrow{\mathbf{v}}}n(\overrightarrow{\mathbf{v}})v^2_x}{n}}}$

n è la concentrazione totale delle molecole.

$\displaystyle{\mathbf{\sum_{\overrightarrow{\mathbf{v}}}n(\overrightarrow{\mathbf{v}})v^2_x=n\,\overline{ v^2_x}}}$

Sostituiamo quanto ottenuto nell’espressione della pressione

$\displaystyle{\mathbf{p=m\, n\, \overline{ v^2_x}}}$

C’è da fare un’altra puntualizzazione, fino ad ora siamo rimasti legati alla direzione x, dato che la parete può stare lungo qualsiasi direzione, dobbiamo svincolarci da x

$\displaystyle{\mathbf{\overline{v^2}=\overline{v^2_x}+\overline{v^2_y}+\overline{v^2_z}}}$

Statisticamente non c’è alcuna ragione per la quale quelle velocità lungo x, y e z siano diverse. Esse sono tutte uguali.

Relazione di simmetria

$\displaystyle{\mathbf{\overline{v^2_x}=\overline{v^2_y}=\overline{v^2_z}=\frac{\overline{v^2}}{3}}}$

Avremo allora

$\displaystyle{\mathbf{p=\frac{1}{3}\, m\, n\, \overline{v^2}}}$

Ci siamo quasi, tenete duro. Ci rimane da isolare il termine cinetico 1/2 m v²

$\displaystyle{\mathbf{p=\frac{2}{3}n\Bigl (\frac{1}{2}\, m \overline{v^2}\Bigr )}}$

La pressione sulle pareti è direttamente proporzionale ad un termine cinetico, che alla fine è un termine di temperatura. Ricordando che

$\displaystyle{\mathbf{n=\frac{N}{V}}}$

la concentrazione è il numero delle molecole nel volume

$\displaystyle{\mathbf{p=\frac{2}{3}\frac{N}{V}\Bigl (\frac{1}{2}\, m \overline{v^2}\Bigr )}}$

Il termine cinetico rappresenta l’energia cinetica di traslazione delle molecole.

La massa totale delle molecole la possiamo esprimere

$\displaystyle{\mathbf{M_{tot}=N\, m}}$

Numero delle molecole per la massa della singola molecola, ma la possiamo anche porre come

$\displaystyle{\mathbf{M_{tot}=n_{kmoli}\, M}}$

Numero delle kmoli per la massa di 1 kmole.

$\displaystyle{\mathbf{pV=\frac{2}{3}\,\Bigl (\frac{1}{2}\, M_{tot} \overline{v^2}\Bigr )=\frac{1}{3}n_{kmoli}\, M\, \overline{v^2}}}$

Studiando le equazioni dei gas abbiamo trovato che

$\displaystyle{\mathbf{pV=n_{kmoli}\, R\, T}}$

Se ora uguagliamo le due espressioni

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{3}n_{kmoli}\, M\, \overline{v^2}=n_{kmoli}\, R\, T}}$

Da questa ci possiamo ricavare la velocità quadratica media

$\displaystyle{\mathbf{ \overline{v^2}=\frac{3RT}{M}}}$

E, quindi, la velocità media

$\displaystyle{\mathbf{v_m=\sqrt{\frac{3RT}{M}}}}$

Vediamo che la velocità media si può calcolare in maniera molto semplice tramite R, T e il peso molecolare.

Finalmente abbiamo finito con la teoria cinetica dei gas !

Nella prossima lezione vedremo il primo principio della termodinamica.

Prossima lezione Primo principio della termodinamica