Teorema di Gauss – Flusso del campo elettrico (Liceo)

Prima di parlare del teorema di Gauss è necessario introdurre il concetto di flusso del vettore campo elettrico E.

Il flusso di un vettore, indicato con la lettera Φ, non viene definito solo per il campo elettrico, ma vale anche per altri campi sempre di tipo vettoriale. Cerchiamo di capire questo concetto utilizzando un esempio che ci è familiare.

Consideriamo il caso di un tubo nel quale scorre dell’acqua con velocità v

Il volume di liquido che passa in una sezione S del tubo, quella in giallo, nell’unità di tempo ( la portata ), o come si usa anche dire, il flusso del vettore velocità v attraverso la superficie S è dato dal prodotto S × v .

Le cose cambiano un pò se la sezione S e la velocità dell’acqua v formano un angolo diverso da 90^o, avrete notato che nel disegno S è perpendicolare al vettore velocità.

Scomponiamo il vettore v nelle due componenti normale e parallela alla superficie S. Disegniamo anche la normale alla superficie, n .

n non è propriamente un vettore, ma un versore

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{n}}\qquad vettore}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\hat{n}\qquad versore}}$

Il versore è un vettore di lunghezza unitaria, ossia di modulo uno, quindi esso ci fornisce una direzione e un verso.

Guardando la figura, notiamo che solo la componente perpendicolare della velocità contribuisce al flusso del vettore velocità attraverso la superficie S. Allora, in questo caso il flusso sarà

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S(\overrightarrow{\mathbf{v}})=S\, v_{\perp}=S\, v\, cos\alpha}}$

La relazione scritta si legge : il flusso del vettore velocità attraverso la superficie S è uguale al prodotto tra la superficie S e la componente della velocità normale alla superficie.

L’angolo α è quello tra la velocità v e la normale alla superficie.

Quanto detto sino ad ora lo andiamo ad applicare al caso del vettore campo elettrico.

Consideriamo un campo elettrico E uniforme, ossia il cui valore è sempre lo stesso in ogni punto dello spazio in considerazione. Prendiamo al suo interno una superficie S (sempre in giallo) e orientiamo la normale n alla superficie.

Si definisce flusso del vettore campo elettrico E attraverso la superficie S

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S(\overrightarrow{\mathbf{E}})=E\, S}}$

Sempre come prima, se la superficie S non è normale al campo elettrico E

n è il versore che ci dice la direzione e il verso della normale alla superficie S, α è l’angolo tra il vettore campo elettrico E e la normale a S.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S(\overrightarrow{\mathbf{E}})=E\, S\, cos\alpha}}$

Dobbiamo notare che, essendo il valore del cosα , un numero compreso tra zero e 1

$\displaystyle{\mathbf{0\leq cos\alpha\leq 1}}$

se la superficie è inclinata il flusso è minore.

Il flusso è massimo quando α = 0 (cos0^o= 1), quindi quando il campo elettrico è parallelo alla normale alla superficie, o che è lo stesso, quando E è normale a S.

Insomma, per dirla brutalmente, il flusso del campo E attraverso la superficie S è una valutazione di quanto campo attraversa la superficie S.

Finalmente possiamo dedicarci al teorema di Gauss.

Consideriamo un sistema di cariche, nel caso di figura tre cariche +q₁, +q₂, -q₃e tracciamo una superficie chiusa S che le racchiude. Nel nostro caso sarà una superficie sferica (quella tratteggiata).

Il teorema di Gauss ci dice che il flusso del campo elettrico generato dalle cariche e uscente dalla superficie chiusa ( e ribadisco chiusa ) è pari a :

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\frac{\sum_i q_i}{\epsilon_o}}}$

La somma di tutte le cariche interne alla superficie diviso la costante dielettrica del vuoto ε_o.

Le cariche esterne alla superficie non danno alcun contributo al flusso

Il flusso del campo elettrico generato dalla carica esterna alla superficie, risulta nullo perchè è entrante ed uscente.

Che ci facciamo con questo teorema ? Vediamo un esempio di applicazione.

Vogliamo calcolare il campo elettrico E generato da una carica +q.

Sappiamo che il campo elettrico E generato da una carica +q sorgente è radiale esterno ( è uscente).

Come superficie S chiusa prendiamo una sfera concentrica con la carica +q.

In ogni punto della superficie S, il campo elettrico E, risulta perpendicolare a S, quindi, molto semplicemente possiamo scrivere

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S(\overrightarrow{\mathbf{E}})=E\, S}}$

In realtà, dovremmo dividere la superficie S in tante piccole superfici ΔS₁, ΔS2 , …. , ΔSn , calcolare il flusso uscente Φ₁= E ΔS₁, il flusso Φ2 = E ΔS₂ ……. e poi sommarli tutti, ottenendo il flusso complessivo Φ = E ΔS₁ + E ΔS₂+ …. + E ΔSn =

E ( ΔS₁ + ΔS₂+ …. + ΔSn ) = E S

Adesso applichiamo il teorema di Gauss

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\frac{q}{\epsilon_o}}}$

Uguagliamo le due espressioni

$\displaystyle{\mathbf{E\, S=\frac{q}{\epsilon_o}}}$ .

Da questa ricaviamo E

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{q}{\epsilon_o\, S}}}$

La superficie sferica vale S = 4 π R²

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{q}{4\pi\epsilon_o\, R^2}}}$

R è la distanza dalla carica +q.

Problemi con Gauss? Hai una domanda? Ti servono ripetizioni? Scrivici da qui oppure mandaci un messaggio WhatsApp al numero 3534349746.

Prossima lezione Campo elettrico di una lastra piana