Forza su una carica in moto in un campo magnetico

La lezione forza su una carica in moto in un campo magnetico è specifica per il liceo. Per l’università devi andare alla pagina Forza di Lorentz.

Vogliamo studiare cosa succede ad una carica in moto in un campo magnetico uniforme.

Uniforme vuol dire che il vettore induzione magnetica, con cui rappresentiamo il campo, è lo stesso in ogni punto.

Forza di Lorentz il campo di induzione magnetica B lo prendiamo bello che fatto. Non ci interessa come viene generato, ci importa solo che sia uniforme. I cerchietti con il puntino rosso indicano il vettore B. In questo caso il vettore è uscente dallo schermo. E’ verso di voi. Il vettore B è perpendicolare al video e uscente. La velocità della carica +q è perpendicolare al campo.

Se la carica q è ferma non subisce azioni da parte del campo magnetico (vedi lezione precedente), se invece è in moto a velocità v risente l’azione di una forza, la forza di Lorentz.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=q\overrightarrow{\mathbf{V}}\times \overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

il segno × tra i due vettori velocità e induzione magnetica indica il prodotto vettoriale.

Tra due vettori non possiamo fare la normale moltiplicazione, il prodotto è o scalare o vettoriale. Facciamo una breve parentesi.

Dati due vettori a e b definiamo prodotto scalare il numero c

$\displaystyle{\mathbf{c=\overrightarrow{\mathbf{a}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{b}}=a\, b\,\cos\alpha}}$

Il prodotto scalare ci da uno scalare, un numero. Esso è pari al prodotto del modulo del primo vettore per il modulo del secondo moltiplicato per il coseno del loro angolo.

Definiamo, invece, prodotto vettoriale, il vettore c

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{c}}=\overrightarrow{\mathbf{a}}\times\overrightarrow{\mathbf{b}}}}$

c è un vettore che ha modulo

$\displaystyle{\mathbf{c=a\, b\sin\alpha}}$

direzione ortogonale a a e b , in pratica è perpendicolare al piano nel quale stanno a e b .

Il verso è tale che la rotazione che porta a su b percorrendo l’angolo < π, visto da c , sia antiorario.

Non preoccupatevi se non vi è ben chiaro il verso, per trovare direzione e verso della forza di Lorentz ci sono delle regole molto semplici.

Riprendiamo da

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=q\overrightarrow{\mathbf{V}}\times \overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Il modulo del vettore F_Lè

$\displaystyle{\mathbf{F_L=q\, V\, B\sin\alpha}}$

Nel nostro caso l’angolo tra la velocità e il vettore induzione magnetica è α = π/2, sono perpendicolari (vedi la figura)

$\displaystyle{\mathbf{\sin\frac{\pi}{2}=1}}$

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{F_L=q\, V\, B}}$

Per la direzione e il verso possiamo usare la regola della mano destra (non è l’unica). Mettiamo pollice, indice e medio perpendicolari tra di loro, poi poniamo

il pollice come la velocità

l’indice come l’induzione magnetica

il medio ci fornisce la direzione e il verso della forza di Lorentz

Per il caso del disegno la forza di Lorentz è diretta verso destra, essa fa deviare la carica. Dobbiamo scoprire dove va a finire questa carica +q.

F_Lè una forza, applichiamo il secondo principio della dinamica F = m a

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=q\overrightarrow{\mathbf{V}}\times \overrightarrow{\mathbf{B}}=m \overrightarrow{\mathbf{a}}}}$

L’accelerazione a è un vettore che ha la direzione della forza. La forza di Lorentz è ortogonale alla velocità, di conseguenza l’accelerazione è ortogonale alla velocità.

Se vi ricordate la cinematica sapete che la velocità è tangente alla traiettoria, allora l’accelerazione è normale alla traiettoria. Si tratta, quindi di un’accelerazione normale. Per normale si intende perpendicolare.

$\displaystyle{\mathbf{a_n=\frac{V^2}{R}}}$

Riapplichiamo il secondo principio al modulo della forza

$\displaystyle{\mathbf{F_L=q\, V\, B=m\frac{V^2}{R}}}$

R è il raggio della traiettoria. Se, durante il moto di +q , R rimane sempre costante, vuol dire che la traiettoria è una circonferenza. Per sapere se R è costante ce lo ricaviamo

$\displaystyle{\mathbf{q\, V\, B=m\frac{V^2}{R}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{R=\frac{m\, V}{q\, B}}}$

Analizziamo questa equazione. La massa m è costante, B lo abbiamo supposto noi costante, abbiamo detto che è uniforme. Rimane da vedere la velocità.

Intuitivamente, dato che la forza è perpendicolare alla velocità , la velocità può variare solo in direzione, varia solo a livello vettoriale, no nel modulo. La forza non ha una componente nella direzione della velocità, quindi non può farne variare il modulo.

Per essere più rigorosi possiamo ricorrere all’energia cinetica

$\displaystyle{\mathbf{E_C=\frac{1}{2}\, m V^2}}$

Se l’energia rimane costante vuol dire che la velocità è tale.

Vi ricordate che il lavoro compiuto dalle forze è pari alla variazione di energia cinetica?

Definizione di lavoro

$\displaystyle{\mathbf{L=\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{s}}=F\, s\,\cos\alpha}}$

Il lavoro è pari al prodotto scalare tra forza e spostamento. Dato che, nel nostro caso, α = π/2 e

$\displaystyle{\mathbf{\cos\frac{\pi}{2}=0}}$

Allora L = 0. Se il lavoro è nullo non c’è variazione di energia cinetica. Se l’energia cinetica è costante vuol dire che la velocità è costante. Tutto questo porta che il raggio R di cui sopra è costante.

La carica +q descrive una circonferenza con moto circolare uniforme, il raggio della circonferenza è

$\displaystyle{\mathbf{R=\frac{m\, V}{q\, B}}}$

Appurato che si tratta di un moto circolare uniforme possiamo calcolarne la velocità angolare

$\displaystyle{\mathbf{\omega =\frac{V}{R}=\cfrac{V}{\cfrac{m\, V}{q\, B}}=\frac{q\, B}{m}}}$

Riassumiamo

Una carica in moto in un campo magnetico (per ora uniforme) subisce una forza che ne devia la traiettoria

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=q\overrightarrow{\mathbf{V}}\times \overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Se l’angolo tra velocità e induzione magnetica è α = π/2 il moto della carica è circolare uniforme.

Se α = 0 , quindi se V e B sono paralleli → F = 0 e non si ha alcun effetto di deviazione

Per angoli intermedi vedremo più avanti gli effetti del campo magnetico sulla carica.

La forza elettrica agisce sia su cariche in moto che su cariche ferme.

La forza di Lorentz solo su cariche in moto.

Nella prossima lezione vediamo l’azione del campo magnetico su un filo percorso da corrente.