Ciclo di Carnot

IL ciclo di Carnot prevede

Un’espansione isoterma
Un’espansione adiabatica
Una compressione isoterma
Una compressione adiabatica

E’ costituito due trasformazioni reversibili isoterme e due trasformazioni reversibili adiabatiche. E’ il caso più semplice ed anche il più efficiente, infatti intervengono solo due temperature e le quantità di calore che vengono passate da una temperatura all’altra vengono trasferite integralmente. Non ci sono scambi di calore con l’esterno durante i passaggi.

Dobbiamo ricordare soltanto due cose :

1 ) Per una trasformazione isoterma

$\displaystyle{\mathbf{L=Q=nRT\ln\frac{V_2}{V_1}}}$

2 ) Per una trasformazione adiabatica

$\displaystyle{\mathbf{L=-nc_V\Delta t}}$

Iniziamo il ciclo di Carnot

Fase 1

Dobbiamo operare un’espansione isoterma. Per ottenerla ci occorre una sorgente di calore a temperature calda T_C

Il gas si scalda a temperatura costante, il suo volume aumenta, il pistone sale e otteniamo lavoro meccanico.

Rappresentazione dell’isoterma tra i punti A e B. Il volume passa da V_A a V_B aumentando. La pressione scende dal valore p_Aal valore p_B

La quantità di calore presa dal sistema per compiera il lavoro L_AB è

$\displaystyle{\mathbf{Q_C=Q_AB=L_AB=nRT_C\ln\frac{V_B}{V_A}}}$

Ripetiamo che per una trasformazione isoterma Q = L , non c’è variazione di energia interna.

Fase 2

Continuiamo a far espandere il gas, ma senza la sorgente di calore al posto della quale un isolante così da avere un’espansione adiabatica.

Il gas può continuare ad espandersi, ma a spese dell’energia interna, la temperatura del sistema diminuisce.

Dal punto B al punto C il volume aumenta con una ripidità maggiore rispetto all’isoterma. Otteniamo un piccolo aumento di volume.

$\displaystyle{\mathbf{L_{BC}=-nc_v(T_f-T_c)}}$

Questo lavoro risulta positivo o negativo ? Dato che è un aumento di volume è > 0, infatti lo è perchè T_f – T_c < 0. Il sistema si stà raffreddando. L_BC è un’aggiunta di lavoro.

A questo punto dobbiamo tornare indietro, la fase di lavoro è terminata.

Fase tre

Vogliamo tornare indietro cercando di pagare il meno possibile in termini di lavoro che ora dobbiamo spendere. In pratica vogliamo massimizzare il ciclo, ossia l’area da esso racchiusa.

Operiamo una compressione isoterma e lo facciamo con una sorgente fredda.

T_F= temperatura fredda.

Il pistone scende e il volume diminuisce.

Con il freddo c’è compressione.

Durante questa fase del ciclo di Carnot siamo noi a dover compiere lavoro per comprimere il gas, ma lo facciamo ad una temperatura più bassa.

$\displaystyle{\mathbf{Q_F=Q_{CD}= nRT\ln\frac{V_D}{V_C}}}$

Dato che il volume V_D è minore del volume V_C , il loro rapporto risulata < 1 e il logaritmo risulta < 0

$\displaystyle{\mathbf{\ln\frac{V_D}{V_C}< 0}}$

Ne segue che L < 0. Lavoro fatto sul sistema.

A questo punto rimane da chiudere il ciclo.

Fase 4

Per terminare il ciclo di Carnot togliamo la sorgente a temperatura fredda T_F e rimettiamoci in condizioni adiabatiche, ossia isoliamo il gas. In queste condizioni continuiamo la compressione. Il gas aumenta la sua temperatura.

Ciclo di Carnot chiuso

$\displaystyle{\mathbf{L_{DA}=-nc_v(T_C-T_F)}}$

Prima di andare avanti riassumiamo quanto ottenuto.

A → B Espansione isoterma ΔU = 0 ⇒ Q = L

$\displaystyle{\mathbf{Q_C=Q_{AB}=L_{AB}=nRT_C\ln\frac{V_B}{V_A}}}$

B → C Espansione adiabatica Q = 0 ⇒ L = -ΔU

$\displaystyle{\mathbf{L_{BC}=-nc_v(T_F-T_C)}}$

C → D Compressione isoterma Q = L

$\displaystyle{\mathbf{Q_F=Q_{CD}=L_{CD}=nRT_F\ln\frac{V_D}{V_C}}}$

D → A Compressione adiabatica L = -ΔU

$\displaystyle{\mathbf{L_{DA}=-nc_v(T_C-T_F)}}$

Possiamo notare che i lavori delle due adiabatiche sono uno l’opposto dell’altro. Nel lavoro totale essi si semplificano, quindi non ce li mettiamo. Consideriamo soltanto i lavori delle due isoterme.

$\displaystyle{\mathbf{L_{tot}=L_{AB}+L_{BC}+L_{CD}+L_{DA}=nRT_C\ln\frac{V_B}{V_A}+nRT_F\ln\frac{V_D}{V_C}}}$

Prima di continuare dobbiamo dimostrare l’uguaglianza dei rapporti di volume

$\displaystyle{\mathbf{\frac{V_B}{V_A}=\frac{V_C}{V_D}}}$

Dato che i punti limiti del ciclo di Carnot si trovano su isoterme e adiabatiche possiamo scrivere le seguenti quattro relazioni :

$\displaystyle{\mathbf{p_AV_A=P_BV_B}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{p_CV_C=P_DV_D}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{p_BV_B^{\gamma}=p_CV_C^{\gamma}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{p_DV_D^{\gamma}=p_AV_A^{\gamma}}}$

Moltiplichiamo i primi membri tra di loro e così pure i secondi

$\displaystyle{\mathbf{p_AV_Ap_CV_Cp_BV_B^{\gamma}p_DV_D^{\gamma}=p_Bp_Dp_Cp_AV_BV_DV_C^{\gamma}V_A^{\gamma}}}$

Eliminiamo i termini comuni

$\displaystyle{\mathbf{V_AV_CV_B^{\gamma}V_D^{\gamma}=V_BV_DV_C^{\gamma}V_A^{\gamma}}}$

Da cui otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{V_B^{\gamma-1}V_D^{\gamma-1}=V_C^{\gamma-1}V_A^{\gamma-1}}}$

Per i rapporti dei volumi otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{\frac{V_B}{V_A}=\frac{V_C}{V_D}}}$

Che è quello che volevamo dimostrare.

Questo lo sostituiamo nel lavoro totale, riscrivendolo prima con l’argomento del secondo logaritmo ribaltato

$\displaystyle{\mathbf{L_{tot}=nRT_C\ln\frac{V_B}{V_A}-nRT_F\ln\frac{V_C}{V_D}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{L_{tot}=nRT_C\ln\frac{V_B}{V_A}-nRT_F\ln\frac{V_B}{V_A}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{L_{tot}=nR\ln\frac{V_B}{V_A}(T_C-T_F)}}$

Ci rimane da definire l’efficienza energetica o rendimento del ciclo di Carnot, ossia la quantità di calore che abbiamo dato (quella sottratta alla sorgente a temperatura più elevata) e quanto lavoro abbiamo ottenuto. Mettiamo in rapporto queste due quantità.

Il calore prelevato dalla sorgente calda è

$\displaystyle{\mathbf{Q_C=Q_{AB}=nRT_C\ln\frac{V_B}{V_A}}}$

Il lavoro meccanico ottenuto

$\displaystyle{\mathbf{L_{tot}=nR\ln\frac{V_B}{V_A}(T_C-T_F)}}$

Rendimento

$\displaystyle{\mathbf{\eta=\frac{L_{tot}}{Q_C}=\frac{T_C-T_F}{T_C}=1-\frac{T_F}{T_C}}}$

Il rendimento dipende solo dalle temperature delle sorgenti.

Il rendimento è sempre < 1.

Dato che le trasformazioni sono reversibili, il ciclo di Carnot può essere descritto in senso inverso. In questo caso si parla di macchine refrigeranti e le quantità di calore sono assorbite dalla sorgente alla temperatura più bassa e ceduta a quella a temperatura maggiore. Il lavoro, sempre rappresentato dall’area del ciclo, viene fatto dall’esterno sul fluido.