Esercizio tipico con il pendolo composto

Riprendiamo il pendolo composto della lezione precedente

Spariamo alla barra con un proiettile di massa m. La barra ha massa M. E’ un urto tra un punto materiale m e un oggetto vincolato ad un cardine. Il proiettile si conficca nella barra, si tratta dunque di un urto perfettamente anelastico.

Come prima cosa occorre valutare in che punto della barra si e’ conficcato il proiettile. La valutazione la facciamo rispetto al cardine e chiamiamo X questa distanza

Attenzione, ci verrebbe subito da dire che, essendo un urto, si conserva la quantita’ di moto, ma questo vale per i punti materiali. In questo caso e’ presente un vincolo, il cardine, che compensa l’urto con una forza impulsiva esterna. Quindi l’impulso delle forze esterne non e’ nullo e la quantita’ di moto non si conserva. Pero’ l’impulso e’ proprio sull’asse, quindi non ha braccio,quindi non ha momento. Allora chi si conserva e’ il momento della quantita’ di moto

$\displaystyle{\mathbf{J_a^{est}=\int M_a^{est}\, dt=\Delta b_a=0\;\longrightarrow\; b_a=cost}}$ .

Questo vale per urti con barre vincolate, se il corpo non e’ vincolato si conserva la quantita’ di moto p.

Dobbiamo valutare il momento della quantita’ di moto prima e dopo l’urto.

Prima dell’urto non c’e’ rotazione, la dobbiamo calcolare come

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{b}}_{prima}=\overrightarrow{\textbf{r}}\, x\, m\overrightarrow{\textbf{v}}_0}}$

Questo e’ un vettore normale al piano di r e V₀ e con verso uscente, questo lo proiettiamo lungo l’asse

b_prima = m V₀ X

$\displaystyle{\mathbf{b_{dopo}=I_C^{tot}\,\omega}}$

Dopo l’urto il proiettile si incastra nella barra e diventa parte di un oggetto ruotante, quindi ora e’ presente ω. Il momento d’inerzia totale e’ quello della barra piu’ quello del proiettile

$\displaystyle{\mathbf{I_{barra}=\frac{1}{3}\, ML^2}}$

E’ il momento d’inerzia di una barra che ruota attorno ad un suo estremo.

$\displaystyle{\mathbf{I_{proiettile}=mx^2}}$

E’ il momento d’inerzia di un punto materiale che ruota a distanza X dall’asse.

$\displaystyle{\mathbf{I_C^{tot}=\frac{1}{3}\, ML^2+mx^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{b_{dopo}=\left (\frac{1}{3}\, ML^2+mx^2\right )\,\omega}}$

Ora applichiamo la conservazione del momento della quantita’ di moto

$\displaystyle{\mathbf{mv_0x=\left (\frac{1}{3}\, ML^2+mx^2\right )\,\omega}}$ .

Ricaviamo ω

$\displaystyle{\mathbf{\omega=\frac{mv_0x}{\frac{1}{3}ML^2+mx^2}}}$

Dopo l’urto ω , andando verso θ = 90⁰, va diminuendo perche’ l’energia si va trasformando da cinetica a potenziale.

Invece,come varia ω al variare di X ? Non e’ intuitivo perche’ X sta’ sia a numeratore che a denominatore

al variare della distanza X, dove si conficca il proiettile, la velocita’ angolare aumenta fino ad un massimo calcolabile per derivazione e uguagliando a zero, poi inizia a diminuire.

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Esercizio tipico con il pendolo composto

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