Dal campo elettrico al campo magnetico

Introduciamo il magnetismo sfruttando quanto già sappiamo sul campo elettrico. Passiamo dal campo elettrico al campo magnetico in modo molto semplice e indolore. Nelle lezioni successive approfondiremo tutti i concetti.

La sorgente del campo elettrico è la carica elettrica.

Il valore del campo elettrico in un punto P a distanza r dalla carica sorgente è dato da :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\, Q\,\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}}}$

Chi risente dell’azione del campo elettrico è la carica q, la famosa carica di prova. Se poniamo una carica +q nel campo generato da una sorgente +Q, subito nasce una forza elettrica (Foza di Coulomb)

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_E=q\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

La sorgente del campo magnetico è sempre una carica Q, ma in movimento. Se la carica non si muove non c’è generazione di campo magnetico.

La sorgente del campo magnetico è ancora la carica, ma deve essere in movimento.

Il campo magnetico terrestre è dovuto al fatto che dentro la Terra ci sono tante cariche elettriche e la terra gira su se stessa ad una certa velocità. Queste cariche sono in moto. (Non è l’unica causa, ma è la maggiore).

L’elemento sorgente del campo magnetico non è solo Q, ma

$\displaystyle{\mathbf{Q\overrightarrow{\mathbf{v}}}}$

è un vettore sorgente.

Le linee di campo che si generano sono linee chiuse.

Per la carica ferma abbiamo il vettore E campo elettrico. Per la carica in moto abbiamo il vettore induzione magnetica B. B è un vettore proporzionale al campo magnetico che, invece, viene indicato con la lettera H e che attualmente è poco usato.

Se fissiamo un punto P a distanza r dalla carica Q possiamo calcolare il vettore B

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{B}}=\Biggl (\frac{\mu_o}{4\pi}\Biggr )Q\overrightarrow{\mathbf{v}}\times\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}}}$

Confrontiamo le relazioni del campo elettrico e del campo magnetico.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\, Q\,\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{B}}=\Biggl (\frac{\mu_o}{4\pi}\Biggr )Q\overrightarrow{\mathbf{v}}\times\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}}}$

Al posto di Q abbiamo il prodotto Q v , al posto della costante dielettrica ε_oc’è la permeabilità magnetica μ_o

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\,\rightarrow\, \frac{\mu_o}{4\pi}}}$

Altra differenza è che nell’espressione di B compare il prodotto vettoriale tra i vettori v e r. Questo è ovvio perchè un prodotto tra due vettori può essere o scalare o vettoriale. Nel nostro caso, dato che il risultato è un vettore (B), deve esserci il prodotto vettoriale.

Attenzione :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{v}}\times\overrightarrow{\mathbf{r}}}}$

ci dà una rotazione, così, mentre il campo elettrico ha la dorezione del raggio (non ha rotazioni), il vettore induzione magnetica B è ortogonale al raggio r nel punto P.

Passiamo alle forze.

Chi subisce il campo elettrico è la carica q, sulla quale viene ad agire la forza elettrica.

Questo vale anche per il campo magnetico. Su una carica q in moto (qv) in un campo di induzione magnetica B agisce una forza.

Se +q è una carica in moto in un campo magnetico su di essa agisce una forza F_L, forza di Lorentz.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=q\overrightarrow{\mathbf{v}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Nel disegno il vettore B è entrante.

La direzione e il verso della forza di Lorentz sono date dalla regola della mano destra. Pollice primo vettore, v, indive secondo vettore, B, medio F_L.

La forza di Lorentz è perpendicolare al piano di v e B.

Quando, nelle prossime lezioni, applicheremo le due relazioni

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{B}}=\Biggl (\frac{\mu_o}{4\pi}\Biggr )Q\overrightarrow{\mathbf{v}}\times\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}L=q\overrightarrow{\mathbf{v}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

al caso di tante cariche mobili, quindi al caso della corrente elettrica, esse verranno chiamate prima e seconda formula di Laplace.

Prima di concludere riportiamo uno schema che riassume quanto studiato.

Elettricità

Magnetismo

Campo elettrico

Induzione magnetica

Sorgente

QV×

Chi subisce E

Chi subisce B

qv×

Costante elettrica

1/4πε₀

Costante magnetica

μ_o/4π

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\, Q\,\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}\,\qquad\rightarrow\,\qquad \overrightarrow{\mathbf{B}}=\Biggl (\frac{\mu_o}{4\pi}\Biggr )Q\overrightarrow{\mathbf{v}}\times\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_E=q\overrightarrow{\mathbf{E}}\qquad\qquad\,\rightarrow\,\qquad\qquad \overrightarrow{\mathbf{F}}_L=q\overrightarrow{\mathbf{v}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Siamo passati dal campo elettrico al campo magnetico in maniera naturale. Ora occorre approfondire. Ci vediamo nelle prossime lezioni.