Campo generato da un piano uniformemente carico

Vogliamo studiare il campo generato da un piano uniformemente carico in un punto P.

Abbiamo già studiato campo generato da un piano carico

lo rivediamo utilizzando la legge di Gauss.

Le linee di forza del campo elettrico risultano ortogonali al piano.

Per il nostro calcolo, una volta scelto il punto P di osservazione, dobbiamo anche scegliere la superficie Σ chiusa di Gauss.

Come superficie di Gauss prendiamo un cilindro passante per il punto di osservazione P e che attraversa il piano.

Come fatto nei casi precedenti, vediamo la superficie Σ come l’unione delle due superfici di base S_A e S_B e di quella laterale S_L

$\displaystyle{\mathbf{\Sigma=S_A\cup S_B\cup S_L}}$

Attraverso la superficie laterale S_L non c’è flusso perchè il vettore campo elettrico e la normale alla superficie sono perpendicolare tra di loro.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}\,\mathbf{\perp}\,\hat{n}\, \Longrightarrow\, \overrightarrow{\mathbf{E}}\,\cdot\, \hat{n}=0}}$

Attraverso le due superfici di base S_A e S_B il flusso è massimo dato che il campo elettrico e la normale sono paralleli.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}\,\mathbf{\parallel}\,\hat{n}\, \Longrightarrow\, \overrightarrow{\mathbf{E}}\,\cdot\, \hat{n}=E\, \times\, 1\times \cos 90=E}}$

Ricordiamo che n è un versore, ossia un vettore il cui modulo vale 1.

I due flussi attraverso le superfici di base vanno sommati tra di loro, infatti il vettore E cambia verso, ma lo fa anche il versore normale n. Sono due flussi uscenti.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\Phi_{S_A}(\overrightarrow{\mathbf{E}})+\Phi_{S_B}(\overrightarrow{\mathbf{E}})}}$

Sostituiamo al flusso la sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\int_{S_A}\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot \hat{n}\,dS\, +\,\int_{S_B}\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}\, dS}}$

Esprimiamo i prodotti scalari

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\int_{S_A} E\, dS\, +\, \int_{S_B} E\, dS}}$

Spostandoci lungo S_A o lungo S_B il valore del campo elettrico E non varia, infatti la distanza x dal piano uniformemente carico è sempre la stessa. (E dipende dalla distanza). Se abbiamo scelto il cilindro (superficie di Gauss) con altezza 2x, il problema diventa simmetrico, E(x) = E(-x).

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=E\,\int_{S_A} dS\, + E\,\int_{S_B} dS=E\, S_A+E\, S_B}}$

A questo punto applichiamo la legge di Gauss che ci dice che il flusso attraverso una superficie chiusa è pari alla carica interna alla superficie diviso la costante ε₀

Scriviamo E(x) in luogo di E perchè in realtà il campo elettrico è funzione della distanza dal piano.

$\displaystyle{\mathbf{E(x)S_A +E(x)S_B=\frac{q_{int}}{\epsilon_o}}}$

Dobbiamo valutare la carica interna q_int . Questa carica è quella contenuta nella superficie intercettata dal cilindro sul piano. E’ quella tratteggiata nella figura. Utilizzando la densità superficiale di carica, abbiamo :

$\displaystyle{\mathbf{q_{int}=\sigma\, dS}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E(x)S_A +E(x)S_B=\frac{\sigma\, S}{\epsilon_o}}}$

Notiamo che le superfici S_A , S_B e S sono tre superfici uguali, le possiamo semplificare.

$\displaystyle{\mathbf{E(x) +E(x)=\frac{\sigma}{\epsilon_o}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{2E(x) =\frac{\sigma}{\epsilon_o}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E(x)=\frac{\sigma}{2\,\epsilon_o}}}$

Il campo elettrico generato da un piano uniformemente carico non dipende dalla distanza x. Questo è dovuto al fatto che abbiamo considerato il piano infinito.