Guida circolare

La guida circolare non e’ altro che un cilindro sul quale e’ posta la nostra massa

L’equilibrio si ha solo in un punto, all’apice. Per ogni spostamente, anche millimetrico, la posizione non e’ piu’ di equilibrio, la reazione normale Rn e la forza peso P non sono piu’ in opposizione. Quando la massa esce dalla posizione di equilibrio per un tratto si muove lungo la guida, quindi descrive una circonferenza, poi si distacca e la sua traiettoria diventa una parabola.

Vediamo cosa accade nel punto di distacco

Partiamo come sempre dal secondo principio applicato alla massa nel punto di distacco

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}_n=m\overrightarrow{\textstyle{a}}}}$ .

Proiettiamo l’equazione vettoriale lungo gli assi t e n

$\displaystyle{\mathbf{n\; :\;P\cos\theta-R_n=ma_n=m\,\frac{v^2}{R}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{t\; :\;P\sin\theta=ma_t=m\,\frac{d^2s}{dt^2}}}$ .

Se seguiamo l’equazione lungo t non arriviamo a nulla perche’ viene fuori un’equazione differenziale non lineare, infatti, ponendo in essa S = Rθ otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{mg\sin\theta=m\,\frac{d^2R\theta}{dt^2}\Longrightarrow g\sin\theta=R\,\frac{d^2\theta}{dt^2}\Longrightarrow \frac{d^2\theta}{dt^2}-\frac{g}{R}\sin\theta=0}}$ .

E’ un’equazione simile a quella del pendolo, pero’ ora compare un segno meno dovuto al fatto che la componente Psinθ ora non porta verso l’equilibrio, ma allontana definitivamente la massa da quel punto. Se andiamo a studiare questa equazione non troviamo alcuna oscillazione.

Prendiamo allora l’equazione lungo n e applichiamo la conservazione dell’energia. Lo possiamo fare perche’ lungo la guida non c’e’ attrito, in presenza di attrito non potete farlo.

Per spostare la massa dalla posizione di equilibrio gli imprimiamo una velocita’ iniziale V₁. La massa allora iniziera’ a scendere arrivando nel punto 2, di distacco, con una velocita’ V₂ > V₁

Vediamo l’energia meccanica nei punti 1 e 2, prendiamo come riferimento il centro della guida.

$\displaystyle{\mathbf{E_{m1}=U_1^P+E_{C1}=mgR+\frac{1}{2}\,mv_1^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_{m2}=U_2^P+E_{C2}=mg(R-h)+\frac{1}{2}\,mv_2^2}}$ .

La reazione vincolare Rn non ci interessa, anche se non e’ conservativa, visto che non compie lavoro essendo perpendicolare allo spostamento.

Poniamo ora E_m1 = E_m2

$\displaystyle{\mathbf{mgR+\frac{1}{2}\,mv_1^2=mg(R-h)+\frac{1}{2}\,mv_2^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}v_1^2=\frac{1}{2}v_2^2+gR-gh-gR}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{v_2=\sqrt{v_1^2+2gh}}}$ .

Questa e’ la velocita’ di distacco. Negli esercizi viene solitamente chiesta la quota di distacco (rispetto alla posizione di equilibrio), per calcolarla dobbiamo trovarci Rn e porla uguale a zero. Per trovare Rn mettiamo la velocita’ trovata nella sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{p\cos\theta-R_n=m\,\frac{v^2}{R}\Longrightarrow R_n=-m\,\frac{v^2}{R}+P\cos\theta}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{R_n=P\cos\theta-m\,\frac{v_1^2+2gh}{R}=mg\cos\theta-m\,\frac{v_1^2+2gh}{R}}}$ .

Dalla figura ricaviamo che

$\displaystyle{\mathbf{R\cos\theta=R-h\Longrightarrow \cos\theta=\frac{R-h}{R}}}$ .

Sostituendo

$\displaystyle{\mathbf{R_n=mg\,\frac{R-h}{R}-m\,\frac{v_1^2+2gh}{R}=m\,\left (\frac{gR-gh-v_1^2-2gh}{R}\right )=\frac{m}{R}\left [g(R-3h)-v_1^2\right ]}}$ .

Da questa notiamo che mano a mano che la massa scende, lungo la guida circolare, la Rn decresce, infatti mentre scende, h aumenta. Quando Rn diventa uguale a zero si ha il distacco.

Se Rn = 0

$\displaystyle{\mathbf{\frac{m}{R}\left [g(R-3h)-v_1^2\right ]=0\Longrightarrow g(R-3h)-v_1^2=0\Longrightarrow gR-3gh=v_1^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{h_{dist}=\frac{R}{3}-\frac{v_1^2}{3g}}}$ .

Se la velocita’ iniziale e’ nulla

$\displaystyle{\mathbf{h_{dist}=\frac{R}{3}}}$ .

la quota che percorre e’ 1/3 del raggio. La velocita’ iniziale fa’ diminuire la quota a cui avviene il distacco, ossia si stacca prima.

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