Esercizio 3 sistemi di punti

Esercizio 3

Si consideri il seguente urto centrale, normale ed elastico.

Una pallina di massa m₁ = 20 g , con velocità v₁ = 27 cm/s urta una seconda pallina di massa m₂ = 10 g , ferma. Calcolare le velocità delle palline dopo l’urto.

Se ci ricordassimo a memoria le formulette dell’urto

$\displaystyle{\mathbf{V_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\, v_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}\, v_2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_2=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\, v_2+\frac{2m_1}{m_1+m_2}\, v_1}}$

basterebbe sostituire a v₂ zero. Però noi ci ricaviamo tutto ciò che è possibile perchè il nostro intento è capire come risolvere gli esercizi.

Indichiamo con v minuscola le velocità prima dell’urto e con V quelle dopo.

Per gli urti vale la conservazione della quantità di moto del sistema, vale sempre, perchè chi produce la variazione della quantità di moto sono le forze esterne, ma per l’urto l’impulso di queste forze è trascurabile rispetto alle intense forze interne che si sviluppano nel breve istante dell’urto.

Possiamo allora porre p_prima = p_dopo

$\displaystyle{\mathbf{m_1v_1=m_1V_1+m_2V_2}}$

La v₂ prima dell’urto non c’è dato che la pallina 2 è ferma.

Abbiamo una relazione e due incognite, ce ne serve un’altra. Il testo ci dice che si tratta di un urto normale, centrale ed elastico, questo vuol dire che avviene in una dimensione, ad esempio lungo l’asse x, ma soprattutto, il fatto di essere elastico, significa che non c’è dissipazione di energia. Si conserva anche l’energia cinetica. Parliamo di cinetica e non di energia meccanica E_m = E_c + U perchè l’energia potenziale durante l’urto non cambia, non cambia la quota, quindi è inutile mettercela, andrebbe a sparire nel computo.

Conservazione di E_c ( o T oppure K chiamatela come vi pare)

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}m_1v_1^2=\frac{1}{2}m_1V_1^2+\frac{1}{2}m_2V_2^2}}$

Mettiamo a sistema le due relazioni

$\displaystyle{\begin{cases}\mathbf{\frac{1}{2}m_1v_1^2=\frac{1}{2}m_1V_1^2+\frac{1}{2}m_2V_2^2}\\ \mathbf{m_1v_1=m_1V_1+m_2V_2}\end{cases}}$

Possiamo risolvere per sostituzione oppure, per semplificarci la vita portiamo a sinistra dell’uguale tutti gli indici 1 e a destra i 2, inoltre semplifichiamo gli 1/2

$\displaystyle{\begin{cases}\mathbf{m_1(v_1^2-V_1^2)=m_2V_2^2}\\ \mathbf{m_1(v_1-V_1)=m_2V_2}\end{cases}}$

Sviluppiamo il quadrato del binomio

$\displaystyle{\begin{cases}\mathbf{m_1(v_1-V_1)(v_1+V_1)=m_2V_2^2}\\ \mathbf{m_1(v_1-V_1)=m_2V_2}\end{cases}}$

Dividiamo membro a membro le due equazioni

$\displaystyle{\mathbf{v_1+V_1=V_2}}$

Ora possiamo sostituire a V₂ , in una delle equazioni di partenza, (quella più semplice) ciò che abbiamo trovato e otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{V_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\, v_1=9cm/s}}$

E la velocità con cui parte la seconda massa sarà

$\displaystyle{\mathbf{V_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}\, v_1=36cm/s}}$

Fatto.