Esempi di forze non conservative

Prima di vedere qualche esempio di forze non conservative, rivediamone il concetto. Partiamo da un grave che viene spostato dalla posizione A alla posizione B da una forza F. Il percorso da A a B e’ generico e lo chiamiamo σ

Sappiamo che il lavoro compiuto dalla forza per andare da A a B e’ dato dall’integrale dei lavori elementari

$\displaystyle{\mathbf{L_{A,B\sigma}=\int_{A,\sigma}^{B}dL=\int_{A,\sigma}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{S}}}$ .

Questo integrale puo’ o meno dipendere dal percorso seguito per andare da A a B. Seguiamo allora una traiettoria diversa tra i due punti A e B, ad esempio δ

$\displaystyle{\mathbf{L_{A,B\delta}=\int_{A,\delta}^{B}dL=\int_{A,\delta}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{S}}}$ .

In generale L_{A,B σ} ≠ L_{A,B δ}

Se la forza e’ conservativa allora il lavoro non dipende dal percorso seguito, ma solo dai punti di partenza A e di arrivo B. In tal caso e’ allora inutile specificare il particolare percorso seguito.

$\displaystyle{\mathbf{L_{A,B\sigma}=\int_{A,\sigma}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{S}=L_{A,B\delta}=\int_{A,\delta}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{S}}}$ .

Questa e’ una conseguenza che si ha se le forze sono di tipo conservativo. C’e’ anche un’altra conseguenza, infatti se i due integrali lungo σ e lungo δ sono uguali si ha :

$\displaystyle{\mathbf{\int_{A,\sigma}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{S}-\int_{A,\delta}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{S}=0}}$ .

Nel secondo integrale posso scambiare gli estremi di integrazione cambiando il segno

$\displaystyle{\mathbf{\int_{A,\sigma}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{S}+\int_{B,\delta}^{A}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{S}=0}}$ .

Questo vuol dire che partiamo da A lungo σ e andiamo in B e poi proseguiamo da B verso A lungo la curva δ. Stiamo percorrendo un ciclo

L’integrale e’ allora un integrale ciclico, attraverso un percorso chiuso. Lo possiamo anche indicare come :

$\displaystyle{\mathbf{\oint\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{S}=0}}$ .

L’altra conseguenza che cercavamo e’ quindi che l’integrale attraverso un percorso chiuso e’ nullo. Questo e’ un modo per vedere se la forza e’ o meno conservativa.

Esempio di forza non conservativa – Attrito

Se spostiamo una massa m da un punto A ad un punto B, nasce una forza di attrito che e’ sempre contraria al moto, quindi ha il verso opposto al moto

Dato che la forza di attrito Ad durante il moto e’ costante, non la dobbiamo integrare

$\displaystyle{\mathbf{L_{A,B}=\int_{A}^{B}\overrightarrow{A}_d\cdot d\overrightarrow{S}=\overrightarrow{A}_d\int_{A}^{B}d\overrightarrow{S}=-A_d\Delta S}}$ .

Per vedere se la forza di attrito Ad e’ conservativa , una volta arrivati in B dobbiamo tornare in A, ossia dobbiamo percorrere il ciclo

Notare che la forza di attrito e’ sempre contraria al moto

L_B,A = – A_d ΔS

$\displaystyle{\mathbf{L_{A,B}+L_{B,A}=\oint\overrightarrow{A}_d\cdot d\overrightarrow{S}=-2A_d\Delta S <0}}$

L’integrale ciclico e’ ≠ 0 quindi la forza di attrito non e’ conservativa.

Altro esempio di forza non conservativa – Attrito viscoso

Questa volta ci muoviamo in un mezzo viscoso, ossia in un mezzo che offre una sua resistenza

Rv schematizza la resistenza del mezzo. Il lavoro per andare da A a B e’

$\displaystyle{\mathbf{L_{A,B}=\int_{A}^{B}\overrightarrow{R}_v\cdot d\overrightarrow{S} < 0}}$ .

E’ minore di zero perche’ l’angolo tra Rv e ΔS e’ π e cosπ e’ -1. Quando torniamo indietro per chiudere il percorso, quindi fare un ciclo, Rv e’ sempre opposta al moto e anche L_B,A risulta < 0

$\displaystyle{\mathbf{L_{B,A}=\int_{B}^{A}\overrightarrow{R}_v\cdot d\overrightarrow{S} < 0}}$ .

E allora

$\displaystyle{\mathbf{L_{A,B}+L_{B,A}=\oint\overrightarrow{R}_v\cdot d\overrightarrow{S} < 0\; quindi \;\neq 0 }}$ .

Gli attriti sono forze non conservative.

Dalla prossima lezione iniziamo lo studio dell’energia potenziale con esempi di forze conservative.

I like physics

Esempi di forze non conservative

Prossima lezione Energia potenziale