Campo magnetico generato da una spira

Per studiare il campo magnetico generato da una spira consideriamo una spira filiforme, di raggio R, percorsa da una corrente stazionaria I. Corrente stazionaria vuol dire che non varia nel tempo.

La spira è vista leggermente di lato, per questo appare un pò schiacciata.

Vogliamo calcolare il valore dell’induzione magnetica B in un punto P lungo l’asse della spira.

P è il nostro punto di osservazione, dove calcoliamo B, x è la distanza di P dalla spira, r è la distanza di P dall’elementino sorgente IdL che prendiamo in considerazione.

Dato che vogliamo trovare B, usiamo la prima formula di Laplace

$\displaystyle{\mathbf{d\overrightarrow{\mathbf{B}}=\frac{\mu_o}{4\pi}\, Id\overrightarrow{\mathbf{L}}\times\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}}}$

La direzione e il verso del vettore induzione elettrico li otteniamo con la regola della mano destra .

pollice primo vettore IdL

indice secondo vettore r (r è diretto verso P)

medio prodotto vettoriale dB

Notiamo subito che il contributo elementare dB al campo magnetico non è tutto efficace. Infatti, per simmetria, se consideriamo l’elementino IdL’ opposto a dL

vediamo che, scomponendo B lungo x e lungo y, solo la parte lungo x contribuisce al campo magnetico.

Questo vuol dire che, per avere il campo magnetico totale, dobbiamo integrare lungo la circonferenza la sola componente lungo x.

Per prima cosa dobbiamo valutare tutti gli angoli.

L’angolo tra il raggio R e il vettore r è π/2, quello tra dB e r è π/2, invece l’angolo tra dB e l’asse delle x è π – θ – π/2 = π/2 – θ.

Scriviamo ora il modulo del contributo dB_x

$\displaystyle{\mathbf{dB_x=\frac{\mu_0}{4\pi}\, \frac{IdL}{r^2}\,\cos\Bigl (\frac{\pi}{2}-\theta\Bigr )}}$

Applichiamo ora la trigonometria

$\displaystyle{\mathbf{\cos\Bigl (\frac{\pi}{2}-\theta\Bigr )=\sin\theta}}$

Sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{dB_x=\frac{\mu_0}{4\pi}\, \frac{IdL}{r^2}\,\sin\theta}}$

Ci togliamo l’angolo θ come variabile esprimendo il senθ dalla figura

$\displaystyle{\mathbf{\sin\theta=\frac{R}{r}}}$

Sostituiamo anche questo

$\displaystyle{\mathbf{dB_x=\frac{\mu_0}{4\pi}\, \frac{IdL}{r^2}\,\frac{R}{r}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{dB_x=\frac{\mu_0}{4\pi}\, \frac{IdL}{r^3}\, R}}$

Questo è il contributo al campo magnetico generato dalla spira che dobbiamo integrare lungo tutta la circonferenza.

$\displaystyle{\mathbf{B=\int dB_x=\frac{\mu_o \, I }{4\pi}\,\frac{R}{r^3}\,\int dL}}$

Tutto quello che abbiamo portato fuori dall’integrale è formato da grandezze costanti che, quindi, non dobbiamo integrare.

μ_o , 4, π è ovvio che sono costanti. R è il raggio della circonferenza, altrettanto ovvio. Il modulo di r è anch’esso costante perchè non varia mai mentre ci spostiamo lungo la circonferenza, ossia al variare dell’elemento infinitesimo IdL. Infine, la corrente I abbiamo detto che è stazionaria, quindi costante.

L’integrale di dL lungo la circonferenza è subito risolto

$\displaystyle{\mathbf{\int dL=2\,\pi\, R}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{B=\frac{\mu_o \, I }{4\pi}\,\frac{R}{r^3}\,2\,\pi\, R=\frac{\mu_o\, I}{2}\, \frac{R^2}{r^3}}}$

Per valutare il campo lungo l’asse dobbiamo introdurre x, la distanza dalla spira. Lo facciamo applicando Pitagora al triangolo di lati R, r e x

$\displaystyle{\mathbf{r=\sqrt{R^2+x^2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{r^3=\Bigl (R^2+x^2\Bigr )^{\frac{3}{2}}}}$

Sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{B=\frac{\mu_o\, I}{2}\, \frac{R^2}{\Bigl (R^2+x^2\Bigr )^{\frac{3}{2}}}}}$

Il campo magnetico generato da una spira lungo il suo asse dipende dalla distanza x.

Il campo magnetico, come tutti i campi, diminuisce se ci allontaniamo dalla sorgente.

Il valore massimo dell’induzione magnetica B si ha per x = 0, quindi al centro della spira.

Campo lungo l’asse della spira

Se ripetiamo lo studio del campo magnetico nella zona a sinistra della spira, troviamo che le linee di campo sono sempre lungo x e nella stessa direzione di prima.

Campo completo lungo x

Il campo in ogni punto, non solo lungo l’asse è come nella figura sottostante.

Le linee del campo magnetico sono continue e chiuse.