Forza di Lorentz

Per studiare la forza di Lorentz consideriamo un campo magnetico uniforme, ossia di stesso valore in ogni suo punto. In esso poniamo una carica +q. Sappiamo che se la carica è ferma non subisce il campo magnetico e su di essa non agisce alcuna forza. (Vedi dal campo elettrico al campo magnetico)

Se, invece, la carica è in moto si presenta la forza di Lorentz.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=q\overrightarrow{\mathbf{v}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Il campo magnetico disegnato in figura è uscente (verso di voi).

La direzione e il verso di questa forza sono dati dalla regola della mano destra.

V pollice (primo vettore)

B indice (secondo vettore)

F_Lmedio (prodotto vettoriale)

Ricordiamo che il prodotto vettoriale è ancora un vettore e che risulta ortogonale al piano dei due vettori di cui facciamo il prodotto.

Questa forza che viene ad agire sulla carica in movimento, provoca una deviazione di +q.

Applichiamo il secondo principio della dinamica

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_L=q\overrightarrow{\mathbf{v}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}=m\overrightarrow{\mathbf{a}}}}$

L’accelerazione ha la direzione della forza di Lorentz, quindi è ortogonale alla velocità. Questo vuol dire che si tratta di un’accelerazione normale. Normale a chi ? Alla traiettoria, visto che la velocità è in ogni punto tangente alla traiettoria.

Nel caso che stiamo considerando la velocità della carica è ortogonale al campo magnetico ed il prodotto vettoriale risulta massimo. Il modulo della forza è :

$\displaystyle{\mathbf{F_L=qvB\sin\alpha=qvB}}$

A questo punto dobbiamo ricordare l’espressione dell’accelerazione normale

$\displaystyle{\mathbf{a_n=\frac{v^2}{\rho}}}$

ρ è il raggio di curvatura della traiettoria.

Questa la sostituiamo nell’equazione della forza

$\displaystyle{\mathbf{F_L=qvB=m\frac{v^2}{\rho}}}$

Ora calcoliamo il raggio di curvatura

$\displaystyle{\mathbf{\rho =\frac{m\, v}{q\, B}}}$

Dato che c’è un raggio di curvatura, ci sarà anche un centro di curvatura.

La forza devia la traiettoria della carica.

Se ρ fosse costante, la traiettoria risulterebbe una circonferenza.

Guardiamo la relazione del raggio di curvatura

$\displaystyle{\mathbf{\rho =\frac{m\, v}{q\, B}}}$

La massa m è costante, B lo abbiamo supposto noi uniforme, quindi non varia, la carica +q è fissa. L’unica cosa che può variare nel tempo è la velocità.

Evidentemente la velocità cambia solo a livello vettoriale, ossia varia la sua direzione, essendo in ogni punto tangente alla traiettoria. Il suo modulo resta costante. Comunque lo dimostriamo.

Sfruttiamo l’energia cinetica, la quale è legata alla velocità. Se l’energia cinetica rimane costante lo farà anche la velocità.

$\displaystyle{\mathbf{dE_C=dL=\overrightarrow{\mathbf{F}}_L\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}}}$

Stavolta il prodotto è scalare. La forza di Lorentz è perpendicolare allo spostamento, allora il prodotto scalare risulta nullo.

$\displaystyle{\mathbf{dE_C=dL=0}}$

Se non c’è variazione di energia cinetica

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}mv^2=cost\,\Longrightarrow\, v=cost}}$

Ma se la velocità è costante lo è anche il raggio di curvatura, per quanto visto poco sopra.

Si tratta, quindi, di un moto uniforme con raggio costante. Il moto è circolare uniforme e ρ è il raggio della circonferenza.

Se il campo magnetico è uniforme la traiettoria è una circonferenza.

$\displaystyle{\mathbf{R =\frac{m\, v}{q\, B}}}$

Dobbiamo dare uno sguardo anche alla velocità angolare ω.

$\displaystyle{\mathbf{\omega =\frac{v}{R}}}$

Ci sostituiamo l’espressione di R

$\displaystyle{\mathbf{\omega =\frac{v}{R}=\frac{q}{m}\, B}}$

La scriviamo in forma vettoriale

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{\omega}}=\frac{q}{m}\, \overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Questa ci dice che il segno della carica incide sul verso di rotazione lungo la circonferenza.