Teoria dei vettori

La teoria dei vettori è fondamentale nello studio della fisica perchè molte delle grandezze che incontreremo sono vettori. Per definire uno spostamento non basta darne il valore numerico, bisogna aggiungere anche una direzione e un verso. Dire “mi sposto di 1 metro” non basta a definire univocamente lo spostamento.

Dobbiamo conoscere le grandezze vettoriali e sapere come fare le operazioni con esse.

Consideriamo un segmento orientato AB

Segmento orientato Esso possiede tre proprietà

Una direzione: è la direzione della retta passante per A e B
Un verso: è il verso che porta da A a B
Una lunghezza o modulo: è la misura in valore assoluto del segmento AB

Ogni segmento orientato che ha la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo di AB si dice equipollente ad AB.

E’ evidente che due segmenti orientati AB e CD che hanno stessa lunghezza, stesso verso e che appartengono a rette parallele sono tra di loro equipollenti.

Se le rette r e s sono parallele, se i due segmenti hanno stessa

lunghezza e stesso verso, AB e CD sono equipollenti.

Tra i segmenti orientati equipollenti esiste una relazione detta di equipollenza , essa soddisfa delle proprietà :

Riflessiva: ogni segmento orientato è equipollente a se stesso
Simmetrica: se AB è equipollente a CD allora CD è equipollente a AB
Transitiva: se AB è equipollente a CD e CD è equipollente a EF, ne segue che AB è equipollente a EF

Prendiamo ora tutti i segmenti orientati dello spazio e suddividiamoli in classi. Ogni classe contiene tutti i segmenti equipollenti ad un dato segmento orientato. Così facendo abbiamo suddiviso tutti i segmenti dello spazio in classi di equivalenza (rispetto alla relazione di equipollenza).

Ogni segmento orientato appartiene ad una sola classe di equivalenza

Due classi di equivalenza differiscono per almeno una delle proprietà: direzione, verso e lunghezza.

⇒ Un vettore V si rappresenta con un qualunque segmento orientato appartenente alla classe di equivalenza che definisce V

⇒ Il vettore è un ente geometrico costituito da una classe di equivalenza di segmenti orientati equipollenti

I rappresentanti di un vettore sono ∞³, ossia tanti quanti sono i punti dello spazio. Per ogni punto dello spazio si può costruire un segmento che sia equipollente ad un segmento dato.

⇒ La direzione, il verso e la lunghezza di un vettore sono la direzione, il verso e la lunghezza comune a tutti i suoi rappresentanti.

Se il segmento orientato AB è un rappresentante del vettore V possiamo scrivere

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}=\overrightarrow{\mathbf{AB}}}}$

Possiamo anche considerare quel vettore i cui rappresentanti hanno gli estremi coincidenti A≡B. Il vettore è allora detto vettore nullo. E’ ridotto ad un solo punto.

Il vettore nullo ha lunghezza nulla , direzione e verso indeterminati.

Diamo qualche definizione ovvia

Due o più vettori non nulli sono paralleli se hanno la stessa direzione
Due vettori che hanno stessa direzione, stesso modulo, ma versi opposti si dicono opposti
Il vettore nullo si considera parallelo ad ogni vettore

Iniziamo ad operare con i vettori

Somma di vettori

Considerati due vettori V₁e V₂, prendiamo OP₁come rappresentante di V₁e P₁P₂ come rappresentante di V₂.

La somma dei due vettori

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}=\overrightarrow{\mathbf{V}_1}+\overrightarrow{\mathbf{V}_2}}}$

è il vettore V rappresentato dal segmento orientato OP₂.

La definizione di somma di due vettori non dipende dalla scelta del punto O comune. Se scegliamo un punto O’ ≠ O vuol dire che tutti i segmenti verranno traslati di OO’ e i nuovi segmenti risultano equipollenti, quindi rappresentano gli stessi vettori.

⇒ La somma di due vettori è commutativa

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}_1}+\overrightarrow{\mathbf{V}_2}=\overrightarrow{\mathbf{V}_2}+\overrightarrow{\mathbf{V}_1}}}$

Inoltre, se indichiamo con O il vettore nullo, si ha

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}+\overrightarrow{\mathbf{O}}=\overrightarrow{\mathbf{O}}+\overrightarrow{\mathbf{V}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}+(\overrightarrow{\mathbf{-V}})=\overrightarrow{\mathbf{O}}}}$

Se i vettori da sommare sono più di due, ad esempio tre?

Somma di più vettori Scelti i rappresentanti OP₁di V₁, P₁P₂di V₂ , P₂P₃di V₃, se operiamo la somma tra i primi due e poi con V₃vediamo che la risultante R (così di solito è indicata la somma tra vettori) ha come rappresentante il segmento orientato OP₃che ha origine nell’origine del primo vettore e l’estremo nell’estremo del terzo vettore.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}_1}+\overrightarrow{\mathbf{V}_2}+\overrightarrow{\mathbf{V}_3}=(\overrightarrow{\mathbf{V}_1}+\overrightarrow{\mathbf{V}_2})+\overrightarrow{\mathbf{V}_3}}}$

La somma di tre o più vettori è commutativa e associativa.

Vediamo anche la differenza tra vettori.

Differenza tra vettori Invece della differenza tra V₁e V_{2 ,}giriamo il secondo vettore che si muta nell’opposto -V₂e facciamo la somma

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}_1}+(-\overrightarrow{\mathbf{V}_2})}}$

Sommiamo al primo vettore l’opposto del secondo.

Prodotto di un vettore per un numero reale

Considerato un vettore V, il suo prodotto per un numero reale a è un vettore

$\displaystyle{\mathbf{a\overrightarrow{\mathbf{V}}}}$

che ha:

Direzione del vettore V
Verso concorde o meno a seconda del segno di a
Lunghezza pari al prodotto del modulo del vettore per a

Qualunque sia il numero a , V e aV sono paralleli.

Risulta, ovviamente:

$\displaystyle{\mathbf{1\overrightarrow{\mathbf{V}}=\overrightarrow{\mathbf{V}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{-1\overrightarrow{\mathbf{V}}=-\overrightarrow{\mathbf{V}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{0\overrightarrow{\mathbf{V}}=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{(a+a')\overrightarrow{\mathbf{V}}=a\overrightarrow{\mathbf{V}}+a'\overrightarrow{\mathbf{V}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{a(\overrightarrow{\mathbf{V}}+\overrightarrow{\mathbf{V'}})=a\overrightarrow{\mathbf{V}}+a\overrightarrow{\mathbf{V'}}}}$

Continuiamo la teoria dei vettori nella prossima lezione dove parleremo di vettori linearmente dipendenti e indipendenti.

Prossima lezione Vettori linearmente dipendenti e indipendenti