Esercizio 1 Sistemi di punti

Esercizio 1

Quattro palline di massa rispettivamente m, 2m, 3m e 4m, sono disposte, in ordine crescente di massa e ad una distanza L = 12 cm l’una dall’altra, su di una sbarretta sottile e di peso trascurabile. Trovare il centro di massa del sistema.

Se le palline fossero disposte ordinatamente ai vertici di un quadrato di lato L, quali sarebbero le coordinate del centro di massa ?

Abbiamo allineato le nostre palline, la prima l’abbiamo posta in x = 0.

Il centro di massa di un sistema è definito come :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{r}_c=\frac{\sum_{j=1}^n m_j\overrightarrow{r}_j}{\sum_{j=1}^n m_j}}}$

Dove m è la massa del singolo punto e r_j è la distanza presa a riferimento. E’ una posizione media di tutte le masse. non è un semplice centro, è pesato dalle masse. Tra un elefante e una mosca, il centro di massa non stà a metà, ma tutto spostato verso l’elefante.

E’ una media pesata.

Questa è un’equazione vettoriale, quindi può essere scomposta secondo gli assi x, y e z, ossia la possiamo proiettare lungo gli assi. Allora il centro di massa ha tre coordinate x_c , y_c , z_c

$\displaystyle{\mathbf{x_c=\frac{\sum_{j=1}^n m_j x_j}{\sum_{j=1}^n m_j}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{y_c=\frac{\sum_{j=1}^n m_j y_j}{\sum_{j=1}^n m_j}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{z_c=\frac{\sum_{j=1}^n m_j z_j}{\sum_{j=1}^n m_j}}}$

Nel nostro caso abbiamo la sola proiezione su x , visto che siamo lungo una linea.

$\displaystyle{\mathbf{x=\frac{m\times 0+2m\times L+ 3m\times 2L+4m\times 3L}{m+2m+3m+4m}=2L=24 cm}}$

Disponiamo ora le palline ai vertici di un quadrato di lato L

Abbiamo messo il quadrato con due lati coincidenti con gli assi, questo per

$\displaystyle{\mathbf{x=\frac{m\times 0+2m\times 0+ 3m\times L+4m\times L}{m+2m+3m+4m}=\frac{7}{10}L=8,4 cm}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{y=\frac{m\times 0+2m\times L+ 3m\times L+4m\times 0}{m+2m+3m+4m}=\frac{5}{10}L=6 cm}}$

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