Sistemi in rotazione

Come esempio di sistemi in rotazione consideriamo un solido che ruota attorno ad un asse

e una piccola massa m_j al suo interno. Questa massa, durante il suo moto, descrive una circonferenza. Ogni massettina del solido descrive una circonferenza di raggio piu’ o meno grande.

La quantita’ di moto e’

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{p}}_j=m_j\overrightarrow{\textbf{v}}_j=m_j\overrightarrow{\omega}\, x\, \overrightarrow{\textbf{r}}_j}}$ .

V_j e’ la velocita’ di rotazione della massetta m_j che sappiamo essere il prodotto della velocita’ angolare ω per il raggio della circonferenza. Non abbiamo messo il pedice j alla velocita’ angolare perche’ ω e’ uguale per tutte le masse, essa e’ uguale per tutto il sistema. Dipende dall’angolo e non dal raggio.

Vediamo il momento della quantita’ di moto p_j rispetto al polo O

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{b}}_{0j}=\overrightarrow{\textbf{r}}_j\, x\, \overrightarrow{\textbf{p}}_j=\overrightarrow{\textbf{r}}_j\, x\, (m_j\overrightarrow{\omega}\, x\,\overrightarrow{\textbf{r}}_j)=m_j\overrightarrow{\omega}(\overrightarrow{\textbf{r}}_j\cdot \overrightarrow{\textbf{r}}_j)-\overrightarrow{\textbf{r}}_j\underline{(m_j\overrightarrow{\omega}\cdot\overrightarrow{\textbf{r}}_j)}_{nullo}}}$ .

L’ultimo termine e’ nullo perche’ ω e r_j sono perpendicolari e il loro prodotto scalare e’ pari a zero.

Per il momento della quantita’ di moto abbiamo allora

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{b}}_{0j}=(m_jr_j^2)\overrightarrow{\omega}}}$ .

Per calcolare il momento totale dobbiamo sommare i momenti di tutte le massette, pero’, se la massetta sta’ piu’ giu’ o piu’ su’ abbiamo il problema che, stando in posizione diversa ha un altro polo attorno a cui ruota. Dobbiamo allora considerare il momento assiale, l’asse e’ unico per tutte le massette. Prendiamo allora il momento rispetto al polo O e lo proiettiamo lungo l’asse a

$\displaystyle{\mathbf{b_{a,j}=\overrightarrow{\textbf{b}}_{o,j}\cdot\hat{a}=(m_jr_j^2)\omega}}$ .

Notiamo che il momento assiale e’ uno scalare, e’ una proiezione, inoltre il momento assiale e’ tutto il momento polare, non una parte perche’ stanno sullo stesso asse e la proiezione coincide con il vettore b_o.

Ora possiamo sommare tutti i momenti di tutte le massette per avere il momento assiale totale

$\displaystyle{\mathbf{b_a=\sum_{j=1}^nb_{a,j}=\sum_{j=1}^n(m_jr_j^2)\omega=\omega\underbrace{\sum_{j=1}^n(m_jr_j^2)}_{I_a}=I_a\omega}}$ .

I_a e’ detto momento d’inerzia. E’ una quantita’ che dipende dalle masse e dalla distanza dall’asse di rotazione. Notiamo che una massa, anche se grande, se e’ posta sull’asse di rotazione ha momento di inerzia nullo perche’ e’ nullo il raggio.

Vediamo ora l’energia cinetica

Ogni elemento sta’ percorrendo una circonferenza con velocita’

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{v}}_j=\overrightarrow{\omega}\, x\, \overrightarrow{\textbf{r}}_j}}$ .

Il cui modulo e’

V_j = ω r_jω e r_j sono perpendicolari

L’energia cinetica E_Cdella massetta j e’

$\displaystyle{\mathbf{E_{c,j}=\frac{1}{2}\, m_jv_j^2=\frac{1}{2}\, m_j\omega^2r_j^2=\frac{1}{2}\, (m_jr_j^2)\omega^2}}$ .

L’energia totale e’ la somma di tutte le energie delle singole massette

$\displaystyle{\mathbf{E_c=\sum_{j=1}^nE_{c,j}=\sum_{j=1}^n\frac{1}{2}(m_jr_j^2)\omega^2=\frac{1}{2}\, \omega^2\underline{\sum_{j=1}^nm_jr_j^2}_{I_a}=\frac{1}{2}\, \omega^2I_a}}$ .

Prima di andare avanti facciamo un piccolo riassunto di quanto visto

Per la traslazione

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{p}}=m\overrightarrow{\textbf{v}}}}$ .

Per la rotazione

b_a = I_a ω momento della quantita’ di moto. I_a e; il momento di inerzia.

Il ruolo che ha la massa m nella traslazione lo ha I_a nella rotazione.

Energia cinetica di traslazione

$\displaystyle{\mathbf{E_C=\frac{1}{2}\, mv^2}}$ .

Energia cinetica di rotazione

$\displaystyle{\mathbf{E_{C,rot}=\frac{1}{2}\, I_a\omega^2}}$ .

Per la traslazione prima equazione cardinale

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{F}}^{est}=\frac{d\overrightarrow{\textbf{p}}}{dt}}}$ .

Solo la forza esterna produce una variazione della quantita’ di moto.

Seconda equazione cardinale

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_o^{est}=\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_o}{dt}+\overrightarrow{\textbf{v}}_o\, x\, \overrightarrow{\textbf{p}}_c}}$ .

Se il polo O e’ fermo o se il polo coincide con il centro di massa

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{M}}_o^{est}=\frac{d\overrightarrow{\textbf{b}}_o}{dt}}}$ .

Se il sistema e’ in rotazione attorno ad un asse, proiettiamo l’equazione su questo asse

$\displaystyle{\mathbf{M_a^{est}=\frac{dI_a\omega}{dt}}}$ .

Nei corpi rigidi (li vedremo tra un po’) I_a la possiamo portare fuori dalla derivazione

$\displaystyle{\mathbf{M_a^{est}=I_a\,\frac{d\omega}{dt}=I_a\alpha}}$ .

Ricordiamoci che l’accelerazione angolare α e’ la derivata della velocita’ angolare ω.

Il momento della forza produce un’accelerazione angolare.

Nella equazione

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{F}}^{est}=m_{tot}\overrightarrow{\textbf{a}}_c}}$ .

La massa totale m_tot e’ quella che cerca di fermare il movimento.

Nella equazione

$\displaystyle{\mathbf{M_a^{est}=I_a\alpha}}$ .

I_a e’ un impedimento ad accelerare circolarmente.

Vediamo ora il teorema dell’impulso angolare e del momento della quantita’ di moto

Conosciamo il teorema dell’impulso e della variazione della quantita’ di moto

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{I}}^{est}=\int\overrightarrow{\textbf{F}}^{est}\, dt=\Delta\overrightarrow{\textbf{p}}_{sis}}}$ .

Per la rotazione

$\displaystyle{\mathbf{M^{est}=\frac{db_a}{dt}\hspace{0,5cm}\Longrightarrow\hspace{0,5cm} M^{est}\, dt=db_a}}$ .

Se integriamo questa espressione otteniamo l’impulso angolare

$\displaystyle{\mathbf{J_a^{est}=\int M^{est}\, dt=\Delta b_a}}$ .

L’impulso angolare fa’ variare il momento della quantita’ di moto. Se l’impulso angolare non c’e’ si conserva il momento della quantita’ di moto.

$\displaystyle{\mathbf{J_a^{est}=0\hspace{0,5cm}\Longrightarrow\hspace{0,5cm}b_a=cost}}$ .

Nella prossima lezione troverete uno specchietto riassuntivo sulla traslazione e rotazione

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Sistemi in rotazione

Prossima lezione Traslazione e rotazione analogie e differenze