La molla

Dedichiamo una lezione tutta per la molla, alla sua forza elastica, al lavoro della forza elastica e all’energia potenziale elastica.

Se applichiamo una forza ad un corpo, in generale, questo si deforma. Si può allungare, accorciare, flettere, torcere, dipende da come applichiamo la forza.

Quando deformiamo un corpo, esso reagisce generando una forza, detta elastica, che tende a riportarlo nella sua condizione iniziale di equilibrio. Questa forza elastica è proporzionale alla deformazione. Più lo deformiamo e più intensa è la reazione elastica.

Non è solo la molla ad essere elastica, tutti i corpi lo sono. se spingiamo su di un tavolo, la sua struttura si deforma, se togliamo la forza, esso torna alla conformazione di prima. Se sul tavolo si siede un elefante si rompe e non può più tornare alla condizione iniziale. Quello che studiamo noi è il caso elastico, ossia applichiamo una forza, nasce una deformazione, togliamo la forza e si torna all’equilibrio iniziale. In definitiva, studiamo il caso di piccole deformazioni, diciamole reversibili.

Questo studio lo facciamo proprio con la molla perchè è facile capire la dipendenza della forza elastica dalla deformazione.

Consideriamo allora una molla con un lato fissato ad una parete e l’altro libero.

La molla è a riposo, ossia è alla sua lunghezza originale e su du essa non è applicata alcuna forza. Essa ha lunghezza x_o. L’asse x è quello al quale ci riferiamo per la misura delle lunghezze.

Ora allunghiamola.

Applichiamo una forza come in figura. La molla si allunga di un Δx = x – x_o

Dato che la molla non vuole essere allungata, ma vuole rimanere nella situazione di equilibrio, reagisce con una foerza elastica F_el

La forza elastica F_el è proporzionale all’allungamento subito e diretta in verso opposto a F

Mettiamo in forma matematica quanto detto fino ad ora

$\displaystyle{\mathbf{F_{el}=K(x-x_0)=K\Delta x}}$

Usiamo direttamente i moduli dei vettori e non i vettori perchè avviene tutto lungo l’asse x e, se facciamo la proiezione della forza lungo x (quindi il suo modulo lungo x, la sua lunghezza) la lunghezza del vettore è sempre quella.

K è la costante di proporzionalità, è detta costante elastica della molla. Essa dipende dal tipo di molla. L’unità di misura di K è Newton/m (N/m).

Se invece di allungare la molla la comprimiamo

anche in questo caso nasce la forza elastica F_el che tende a riportare la molla alla lunghezza iniziale x₀, ed è sempre proporzionale a x-x_o. Stavolta però il Δx è di compressione.

La relazione

$\displaystyle{\mathbf{F_{el}=K\Delta x}}$

Rappresenta la legge di Hooke : le forze elastiche sono direttamente proporzionali alle deformazioni e di verso opposto a queste.

Prima di andare avanti vediamo un esempio pratico. Una molla di costante elastica K = 80 N/m è lunga 13,6 cm quando ad essa è applicata una forza di 2,3 N. Quanto è lunga la molla a riposo ?

$\displaystyle{\mathbf{F=F_{el}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{F=K(x-x_o)}}$

Dobbiamo ricavarci x_o

$\displaystyle{\mathbf{F=Kx-Kx_o}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{Kx_o=Kx-F}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{x_o=\frac{Kx}{K}-\frac{F}{K}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{x_o=x-\frac{F}{K}}}$

Prima di fare i calcoli dobbiamo portare la lunghezza di 13,6 cm in metri

13,6 cm = 0,136 m

$\displaystyle{\mathbf{x_o=0,136-\frac{2,3}{80}=10,7 cm}}$

Passiamo ora al lavoro della forza elastica.

Ricordiamo la definizione di Lavoro

$\displaystyle{\mathbf{L=Fs\cos\alpha}}$

α è l’angolo tra forza e spostamento.

Nel caso della forza peso sappiamo che

$\displaystyle{\mathbf{L=mgh}}$

La forza peso P è costante e pari a P = m×g, quello scritto sopra è il lavoro compiuto dalla forza peso quando un corpo di massa m passa da quota h a quota zero. Se riportiamo in un grafico la forza P in funzione della quota h

vediamo che il prodotto mgh, che corrisponde al lavoro compiuto dalla forza peso, è uguale all’area del rettangolo tratteggiato.

La forza elastica non è costante, ma aumenta mano a mano che aumenta la forza applicata, quindi mano a mano che aumenta l’allungamento x.

Anche in questo caso possiamo porre il lavoro pari all’area tratteggiata, che ora è un triangolo.

$\displaystyle{\mathbf{L=-\frac{1}{2}\, Kx\, x=-\frac{1}{2}\, Kx^2}}$

Se partiamo, invece che da un valore X = 0 come posizione iniziale della molla, da un valore x₁ e la allunghiamo fino a x₂

$\displaystyle{\mathbf{L=-\frac{1}{2}\, K(x_2^2-x_1^2)}}$

Ci sono da notare due cose. Primo, c’è un segno meno nell’espressione del lavoro perchè la forza elastica fa un lavoro resistente, essa è orientata verso sinistra, mentre noi stiamo allungando la molla verso destra. Per chi conosce bene la funzione coseno, il meno ne scappa fuori dal fatto che l’angolo tra forza elastica e spostamento è 180⁰ e il cos(180) = -1.

Spesso il segno nella formula del lavoro provoca dei problemi, il lavoro è positivo se la forza che stiamo considerando è nello stesso verso dello spostamento, se cioè il loro angolo è minore di 90^o. Se l’angolo è maggiore di 90^o significa che la forza punta verso sinistra mentre l’oggetto si sta muovendo verso destra, ma allora non è lei a compiere lavoro (c’è un’altra forza), lei cerca di fermare l’oggetto, o l’allungamento nel caso della molla, ma non ci riesce e il lavoro è negativo, non è lei a compierlo.

La seconda cosa da notare è che il lavoro dipende dalla posizione iniziale e da quella finale, non da altro. Ne deduciamo che la forza elastica è una forza conservativa.

Per questo tipo di forze abbiamo visto che si può definire una funzione Energia potenziale U che, con la differenza dei suoi valori nei punti 1 di partenza e 2 di arrivo ci da proprio il lavoro

$\displaystyle{\mathbf{L=-\Delta U}}$

Lo abbiamo fatto per la forza peso, ora lo facciamo anche con la forza elastica

$\displaystyle{\mathbf{L=-\Delta U_{el}}}$

Se poniamo pari a zero l’energia potenziale della molla quando è a riposo (allungamento nullo) allora il lavoro per un allungamento x è

$\displaystyle{\mathbf{L=U_{el1}-U_{el2}=-U_{el2}}}$

Risulta che

$\displaystyle{\mathbf{U=-L}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{U=\frac{1}{2}\, Kx^2}}$

L’energia potenziale elastica rappresenta il lavoro necessario per allungare o comprimere la molla di un tratto x.

Cerchiamo di capire bene quanto detto. Se prendiamo una molla e la tiriamo compiamo un lavoro. Dato che la molla non ha nessuna intenzione di essere allungata, si contrappone alla nostra forza con una forza elastica. Il lavoro che facciamo noi è positivo, quello della molla è negativo, è lavoro resistente. Se, dopo un tratto x, rilasciamo la molla, questa torna nella sua posizione iniziale dopo aver compiuto un pò di oscillazioni. Stessa cosa vale se comprimiamo la molla.

Quando la lasciamo libera, sia che sia stata allungata che compressa, lei torna alle condizioni iniziali compiendo un lavoro. Come mai quando viene rilasciata è in grado di compiere lavoro ? Per fare un lavoro dobbiamo possedere energia. Il lavoro fatto per allungare o comprimere la molla finisce come energia potenziale elastica U_el della molla.

Una molla compressa ha energia potenziale

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\frac{1}{2}\, Kx^2}}$

pari al lavoro che abbiamo fatto per accorciarla. Idem per l’allungamento.

L’energia potenziale elastica rappresenta il lavoro che dobbiamo compiere per allungare o comprimere una molla di un tratto x, che corrisponde anche al lavoro che ci restituisce quando torna nella posizione di riposo.

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