Momento di una forza rispetto ad un asse

Il polo O e’ posizionato su di un asse che indichiamo con a

Individuiamo il piano di r e F che indichiamo con π. Il momento M₀ e’ ortogonale al piano π. Proiettiamo il vettore M_0,momento della forza rispetto al polo O, lungo l’asse a e chiamiamo M_aquesta proiezione.

M_a e’ il momento della forza rispetto all’asse a ed e’ chiamato momento assiale.

Il momento polare, rispetto al polo O, e’ un vettore.

Il momento assiale e’ la componente del momento polare lungo l’asse a, quindi e’ uno scalare.

Per calcolare M_a a partire dal momento polare basta considerare il loro angolo, oppure il prodotto scalare di M_o e a

$\displaystyle{\mathbf{M_a=\overrightarrow{M}_o \cdot \hat{a}}}$ .

Questo prodotto scalare non e’ altro che la proiezione di M₀ lungo l’asse a. Ricordando che

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{M}_o=\overrightarrow{\textbf{r}}x\overrightarrow{F}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{M_a=\overrightarrow{\textbf{r}}x\overrightarrow{F}\cdot\hat{a}}}$ .

Questo e’ un prodotto misto.

Dobbiamo ora far vedere che per il calcolo del momento assiale possiamo utilizzare un polo qualunque, basta che sia lungo l’asse a, quindi possiamo usare un qualsiasi punto dell’asse a.

Per far vedere che M_a non dipende dal particolare punto sull’asse a scegliamo un altro polo O^‘

Ovviamente il piano cambia perche’ non e’ piu’ il piano tra r e F, ma tra r^‘e F, questo nuovo piano lo chiamiamo σ. Il momento polare M_0′ e’ ortogonale al piano σ.

Per confrontare M₀ e M₀_‘ dobbiamo metterli con l’origine in comune

I due momenti polari non sono uguali. Quando, in luogo di O, considero O^‘ il momento polare cambia. Invece il momento assiale rimane uguale, infatti :

$\displaystyle{\mathbf{M_{a'}=\overrightarrow{\textbf{M}}_{o'}\cdot\hat{a}}}$ .

Esprimiamo il momento polare rispetto a O’

$\displaystyle{\mathbf{M_{o'}=\overrightarrow{\textbf{r'}}x\overrightarrow{F}=(\overrightarrow{\textbf{r}}+\overrightarrow{\textbf{o'o}})x\overrightarrow{F}}}$ .

Allora il momento assiale M_a’ diventa

$\displaystyle{\mathbf{M_{a'}=(\overrightarrow{\textbf{r}}+\overrightarrow{\textbf{o'o}})\, x\, \overrightarrow{\textbf{F}}\cdot \hat{a}=\overrightarrow{\textbf{r}}\, x\, \overrightarrow{\textbf{F}}\cdot \hat{a}+\overrightarrow{\textbf{o'o}}\, x\, \overrightarrow{\textbf{F}}\cdot\hat{a}}}$ .

Ricordiamo che il prodotto misto non cambia permutando circolarmente i vettori

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{v}}_1\cdot\overrightarrow{\textbf{v}}_2\, x\, \overrightarrow{\textbf{v}}_3\, =\, \overrightarrow{\textbf{v}}_2\cdot\overrightarrow{\textbf{v}}_3\, x\, \overrightarrow{\textbf{v}}_1\, =\, \overrightarrow{\textbf{v}}_3\cdot \overrightarrow{\textbf{v}}_1\, x \, \overrightarrow{\textbf{v}}_2}}$ .

Nel nostro caso, l’ultimo termine del momento assiale M_a’ lo possiamo trasformare

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{o'o}}\, x\, \overrightarrow{\textbf{F}}\cdot\hat{a}=\hat{a}\, x\, \overrightarrow{\textbf{o'o}}\cdot\overrightarrow{\textbf{F}}}}$ .

Notiamo che a e O’O sono paralleli, quindi il loro prodotto vettoriale e’ nullo, lo e’ perche’ e’ nullo il seno del loro angolo (sino = 0). Quindi

$\displaystyle{\mathbf{M_{a'}=\overrightarrow{\textbf{r}}\, x\, \overrightarrow{\textbf{F}}\cdot \hat{a}}}$ .

Ma abbiamo visto che

$\displaystyle{\mathbf{M_{a}=\overrightarrow{\textbf{r}}\, x\, \overrightarrow{\textbf{F}}\cdot \hat{a}}}$ .

Quindi M_a = M_a’

Qualunque punto sull’asse a e’ buono per calcolare il momento assiale.

Dobbiamo ora affrontare il momento della quantita’ di moto.

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