Potenziale elettrostatico sistema continuo

Per studiare il potenziale di un sistema continuo di cariche, non parleremo di carica q_i , come nel caso discreto, ma di un dq (carica infinitesima) all’interno di un volume, di una superficie o lungo una linea.

La carica infinitesima dq genera il potenziale infinitesimo dV

$\displaystyle{\mathbf{dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\,\frac{dq}{r'}}}$

Questa volta, invece dalla sommatoria, dobbiamo fare un integrazione

$\displaystyle{\mathbf{V=\int\, dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\,\int\frac{dq}{\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2}}}}$

Se la carica dq è distribuita lungo una linea

$\displaystyle{\mathbf{dq=\lambda dl}}$

dove λ è la densità lineare di carica

$\displaystyle{\mathbf{V=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\,\int_l\frac{\lambda dl}{\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2}}}}$

L’integrazione è lungo la linea l sulla quale è distribuita la carica.

Se invece è distribuita su di una superficie

$\displaystyle{\mathbf{dq=\sigma ds}}$

σ è la densità superficiale di carica.

$\displaystyle{\mathbf{V=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\,\int_S\frac{\sigma dS}{\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2}}}}$

L’integrazione è su tutta la superficie. (Sarebbe un integrale doppio).

Se la carica è in un volume

$\displaystyle{\mathbf{dq=\rho d\tau}}$

ρ è la densità volumetrica e τ è il volume.

$\displaystyle{\mathbf{V=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\,\int_V\frac{\rho d\tau}{\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2}}}}$

L’integrazione è nel volume (sarebbe un integrale triplo).

Questa formula e quella vista la lezione precedente sulla distribuzione discreta di cariche, sono certamente relazioni esatte, ma di non facile utilizzo. Dalla prossima lezione studieremo dei casi particolari dove sarà possibile trovare formulazioni più applicabili.