Impulso e quantita’ di moto

Parliamo ora di impulso e quantità di moto iniziando con l’introduzione della nuova grandezza quantità di moto.

Introduciamo una nuova grandezza che unisce aspetti cinematici con aspetti dinamici. A che ci serve una nuova grandezza visto che ne abbiamo a sufficienza ? Per capirlo immaginiamo di stare camminando e di impattare contro una mosca che vola ad esempio a 10km/h, Che ci succede ? Un po’ di fastidio e basta. Sempre camminando impattiamo ora contro un tir carico di cemento che viaggia sempre a 10km/h. Che ci succede ? Un po’ piu’ del fastidio di prima !! Cinematicamente parlando non cambia nulla, le velocita’ sono quelle, quelli i tempi, .. invece gli impatti energetici sono molto diversi, sotto questo profilo la cinematica e’ carente. Introducendo la quantita’ di moto ci avviciniamo al concetto di energia.

Definiamo questa nuova grandezza a partire dal secondo principio della dinamica

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}=m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}}}$ .

Dove abbiamo espresso l’accelerazione come derivata nel tempo della velocita’. Dato che la massa e’ costante (tranne casi particolari di sistemi a massa variabile) non subisce derivazione e possiamo portarla fuori, ma anche dentro il simbolo di derivata

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}=m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d(m\overrightarrow{v})}{dt}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}}}$ . – e’ detta quantita’ di moto ed e’, ovviamete un vettore. La sua misura nel S.I. e’ kg m/s.

Questo nuovo modo di esprimere il secondo principio della dinamica ci dice che la risultante delle forze applicate produce una variazione nel tempo della quantita’ di moto.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt} \Longrightarrow \overrightarrow{F}dt=d\overrightarrow{p}\hspace{2cm}\overrightarrow{F}dt=impulso\hspace{0,2cm} elementare}}$ .

L’impulso serve per la misura della forze che hanno una durata limitata nel tempo. Non e’ detto che una forza sia costantemente applicata, puo’ durare 1s oppure un 1μs e gli effetti sono diversi a seconda del tempo di applicazione. Queste forze vengono dette impulsive.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}dt=d\overrightarrow{p}}}$ .

Per avere l’impulso la integriamo, la parte a sinistra dell’uguale nel suo dominio, ossia nel tempo, la parte a destra nel suo dominio, quindi in quello della quantita’ di moto.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{I}=\int_{t_1}^{t_2}\overrightarrow{F}\,dt=\int_{p_1}^{p_2}\,d\overrightarrow{p}}}$ .

Abbiamo indicato con p₁ la quantita’ di moto all’istante t₁ e p₂ la quantita’ di moto all’istante t₂

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{I}=\int_{p_1}^{p_2}\,d\overrightarrow{p}\Longrightarrow \overrightarrow{I}=\overrightarrow{p}_2 - \overrightarrow{p}_1}}$ .

L’impulso e’ uguale alla variazione della quantita’ di moto.

Se manca l’impulso, ad esempio perche’ manca la forza o perche’ il tempo e’ troppo breve si ha :

$\displaystyle{\mathbf{0=\overrightarrow{p}_2 - \overrightarrow{p}_1\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}\overrightarrow{p}_1=\overrightarrow{p}_2}}$ .

Si ha la conservazione della quantita’ di moto

$\displaystyle{\mathbf{Se \hspace{1cm}\overrightarrow{F}=0\hspace{0,5cm}oppure\hspace{0,5cm}\overrightarrow{I}=0\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}\overrightarrow{p}_1=\overrightarrow{p}_2\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm}\overrightarrow{p}=cost.}}$ .

Ossia la quantita’ di moto rimane costante nel tempo.

All’inizio di questa lezione sull’impulso e quantità di moto, nell’introdurre la quantita’ di moto abbiamo supposto la massa costante, la definizione data rimane valida anche se la massa varia, in tal caso avremo :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\frac{d(m\overrightarrow{v})}{dt}=\overrightarrow{v}\frac{dm}{dt}+m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\overrightarrow{v}\frac{dm}{dt}+m\overrightarrow{a}}}$ .

Questo e’ il caso, ad esempio, di particelle a velocita’ prossime a quella della luce, quando la massa varia con la velocita’.

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