Campo generato da una distribuzione sferica

Come primo caso di applicazione della legge di Gauss vediamo il campo generato da una distribuzione sferica di carica. Prima affrontiamo il caso di una sfera conduttrice, poi studieremo il caso di una sfera non conduttrice.

Sfera conduttrice

Prendiamo una sfera metallica e poniamo in essa delle cariche. Sappiamo che, in un metallo, le cariche non rimangono dove le abbiamo poste perchè sono libere di muoversi. Esse si respingono e vanno a porsi alla massima distanza le une dalle altre. Questo vuol dire che si posizionano sulla superficie esterna.

La distribuzione di carica è allora una distribuzione superficiale.

$\displaystyle{\mathbf{\sigma =\frac{dq}{dS}}}$

Inoltre, se la distribuzione è uniforme

$\displaystyle{\mathbf{\sigma =\frac{dq}{dS}=\frac{q_{tot}}{4\pi R^2}}}$

Dove R è il raggio della sfera.

Per poter calcolare il campo generato dalla distribuzione sferica di carica dividiamo il problema in due sottoproblemi :

Caso in cui r > R Fuori della sfera

Caso in cui r < R Dentro la sfera

Nel primo caso r > R il punto in cui andiamo a studiare il campo elettrico è fuori dalla sfera, nel secondo il punto di osservazione P si trova dentro la sfera r < R. Iniziamo dal primo caso.

Caso r > R

Per applicare il teorema di Gauss scegliamo una superficie di Gauss opportuna, ossia una superficie chiusa che racchiude le cariche e passa per il punto di osservazione P dove vogliamo calcolare il campo elettrico. Però, la superficie che andiamo a scegliere deve passare per il punto P in modo tale che la normale alla superficie sia parallela al campo elettrico E.

In pratica, se la distribuzione di carica è sferica, la superficie di Gauss sarà una superficie sferica che racchiude la carica. Σ è tale superficie, ricordiamo che essa deve essere chiusa e la sfera è una superficie chiusa.

Calcolo del flusso del campo elettrico E

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\int_{\Sigma}\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}\, dS}}$

Per come abbiamo scelto la superficie Σ il campo elettrico E e la normale n sono paralleli. Il loro prodotto scalare diventa :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}=E\, n\cos\theta=E}}$

Perchè il modulo di n è 1 (è un versore) e cos0 = 1

Sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\int_{\Sigma}E\, dS}}$

Se ci spostiamo lungo la superficie Σ , il campo elettrico E rimane costante perchè la distanza dal centro è sempre la stessa. Ovviamente, ad essere costante è il modulo di E, non la sua direzione e il suo verso. Se E è costante lo possiamo portare fuori dall’integrale.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=E\, \int_{\Sigma}\, dS= E\, 4\pi r^2}}$

E è il campo elettrico in P

4πr² è la superficie sferica

La legge di Gauss ci dice che il flusso del vettore E attraverso la superficie Σ è pari alla carica interna a Σ diviso ε₀

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=E\, 4\pi r^2=\frac{Q_{tot}}{\epsilon_o}}}$

Da questa ricaviamo il campo elettrico E

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o r^2}}}$

Ritroviamo il campo dovuto ad una carica puntiforme.

Vediamo ora l’altro caso

Caso r < R

Anche questa volta scegliamo la superficie di Gauss Σ in modo che passi per il punto P di osservazione e che sia sferica.

E’ tutto come prima, se scegliamo un’ aureola di superficie dS, il campo E e la normale risultano paralleli.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\int_{\Sigma}E\, dS=E\, \int_{\Sigma}\, dS=E\, \Sigma=E4\pi r^2}}$

Ora applichiamo la legge di Gauss

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\frac{Q_{int}}{\epsilon_o}=0}}$

Il flusso è pari a zero perchè non c’è nessuna carica all’interno della superficie Σ.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=E4\pi r^2=\frac{Q_{int}}{\epsilon_o}=0}}$

Ne risulta che :

$\displaystyle{\mathbf{E=0}}$

All’interno della sfera il campo elettrico è nullo.

Vediamo l’andamento della funzione campo elettrico in funzione della distanza dal centro.

$\displaystyle{\mathbf{r<R\,\longrightarrow\, E=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{r>R\,\longrightarrow\, E=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o r^2}}}$

La funzione E non è continua.

All’interno dei conduttori non c’è campo elettrico. Questa proprietà vale per qualunque conduttore e qualsiasi sia la sua forma.

Le cariche si distribuiscono in maniera tale da schermare l’interno del conduttore dove risulta E = 0.

Tutto cambia se la sfera è non conduttrice.

Sfera non conduttrice

In questo caso le cariche che posizioniamo all’interno della sfera rimangono lì.

Questo vuol dire che la densità di carica che dobbiamo considerare è una densità volumetrica.

$\displaystyle{\mathbf{\rho = \frac{dq}{d\tau}}}$

dτ è il volume.

Anche questa volta dividiamo il problema del calcolo del campo elettrico in un punto P in due sottoproblemi, dentro la sfera r< R e fuori dalla sfera r > R.

Dentro la sfera r < R

La superficie chiusa Σ di Gauss che scegliamo è, come il caso precedente, una superficie sferica passante per il punto P. In tal modo il vettore campo elettrico E e la normale n alla superficie sono paralleli.

Procedendo come prima calcoliamo il flusso del vettore campo elettrico.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\int_{\Sigma}E\, dS=E\, \int_{\Sigma}\, dS=E\, \Sigma=E4\pi r^2}}$

Applichiamo la legge di Gauss

$\displaystyle{\mathbf{E4\pi r^2=\frac{q_{int}}{\epsilon_o}}}$

Il problema è calcolare quanta carica c’è dentro la superficie Σ. Non è la carica totale, lo sarebbe se r = R.

Per questo calcolo ricaviamo, prima di tutto, la carica infinitesima dq contenuta in un volume sempre infinitesimo dτ. Lo facciamo attraverso la densità volumetrica.

$\displaystyle{\mathbf{dq=\rho \, d\tau}}$

Dobbiamo esprimere il volumetto dτ

Lo esprimiamo in coordinate polari nello spazio tramite r , φ e θ .

θ è la colatitudine, quella che vale zero al polo nord, π/2 all’equatore e π al polo sud.

φ varia tra 0 e 2π

θ varia tra 0 e π

La distanza r è presa a metà della tasserina di volume infinitesimo dτ

$\displaystyle{\mathbf{d\tau =(rd\theta)(r\sin\theta d\phi)dr}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{d\tau =r^2dr\sin\theta d\theta d\phi}}$

Ora possiamo calcolare la carica q contenuta nella superficie Σ

$\displaystyle{\mathbf{q=\int\,dq=\int\rho\, d\tau=\int_o^r \rho r^2\, dr\,\int_o^{\pi}\,\sin\theta\, d\theta\,\int_o^{2\pi}\, d\phi}}$

Se la densità volumatrica ρ dipende solo dal raggio, ossia se la distribuzione di carica è a simmetria radiale, i tre integrali risultano indipendenti.

$\displaystyle{\mathbf{\int_o^{2\pi}\, d\phi =2\pi}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\int_o^{\pi}\sin\theta\, d\theta =\, -\cos\theta |_o^{\pi} =2}}$

Quindi per la carica q si ha :

$\displaystyle{\mathbf{q=\int_o^r\rho 4\pi r^2\, dr}}$

A questo punto applichiamo la legge di Gauss

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\int_{\Sigma} E\, dS=E\Sigma=E4\pi\epsilon_o r^2=\frac{q_{int}}{\epsilon_o}=\frac{\int_o^r\rho 4\pi r^2\, dr}{\epsilon_o}}}$

Se la distribuzione di carica ρ è uniforme la soluzione è molto semplice

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\frac{4\pi\rho\int_o^rr^2\, dr}{\epsilon_o}=\cfrac{\rho\,\cfrac{4}{3}\,\pi r^3}{\epsilon_o}}}$

Risulta allora

$\displaystyle{\mathbf{E4\pi\epsilon_o r^2=\cfrac{\rho\cfrac{4}{3}\pi r^3}{\epsilon_o}\,\,\Longrightarrow\,\, E=\frac{\rho\, r}{3\,\epsilon_o}}}$

Passiamo al secondo caso, quello di campo esterno

Caso r > R

Come al solito scegliamo la superficie chiusa di Gauss (quella tratteggiata), in particolare prendiamo una sfera concentrica alla sfera non conduttrice e che passa per il punto di osservazione P.

Fatto questo calcoliamo il flusso del vettore campo elettrico esattamente come fatto prima

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\int_{\Sigma}\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}\, dS=\int_{\Sigma} E\, dS=E\, 4\pi r^2}}$

Applichiamo la legge di Gauss

$\displaystyle{\mathbf{E\, 4\pi r^2=\frac{q_{int}}{\epsilon_o}}}$

La carica q_int è la carica totale che sarà data da :

$\displaystyle{\mathbf{q_{int}=\int_0^R\rho \, 4\pi\, r^2\, dr}}$

Per avere la carica interna alla superficie di Gauss dobbiamo integrare tra 0 e R, dopo R non ci sono più cariche (tra le due superfici non ci sono cariche). La q_int coincide con la carica totale Q_tot .

$\displaystyle{\mathbf{E\, 4\pi r^2=\frac{Q_{tot}}{\epsilon_o}}}$

Infine, per il campo elettrico E avremo :

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o r^2}}}$

Ritroviamo il caso della carica puntiforme.

Vediamo l’andamento della funzione campo elettrico in funzione della distanza r dal centro.

$\displaystyle{\mathbf{Per\,\, r<R\qquad E=\frac{\rho\, r}{3\, \epsilon_o}\,\qquad\, aumenta \,linearmente\, con\, r}}$ . $\displaystyle{\mathbf{Per\,\, r>R\qquad E=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o r^2}\,\qquad \,diminuisce\, con\, il\, quadrato\, della\, distanza}}$

Le due formule che abbiamo trovato per il campo interno alla sfera (r<R) e per il campo esterno alla sfera (r>R), sono espressi uno con la densità di carica ρ e l’altro con la carica Q.

$\displaystyle{\mathbf{E_{int}=\frac{\rho\, r}{3\, \epsilon_o}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_{est}=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o r^2}}}$

Possiamo uniformarle

$\displaystyle{\mathbf{\rho=\cfrac{Q_{tot}}{\cfrac{4}{3}\,\pi R^3}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_{int}=\frac{Q_{tot}\, r}{3\,\cfrac{4}{3}\,\pi R^3\,\epsilon_o}=\frac{Q_{tot}\, r}{4\, \pi\epsilon_o R^3}}}$

Rimane da notare che, nel grafico, nel punto r=R la funzione è continua, il limite destro è uguale al limite sinistro, ma non è ivi derivabile.

Nel caso della sfera conduttrice, per r=R la funzione campo elettrico non è continua.