Vettori campo elettrico e spostamento elettrico

Vogliamo introdurre i vettori campo elettrico e spostamento elettrico nella materia. Per far questo consideriamo una carica +Q, sappiamo che, ponendola nel vuoto, essa genera un campo radiale in tutte le direzioni. Se è immersa in un materiale la chiamiamo carica libera Q_libper distinguerla da quelle che si generano per polarizzazione.

Se siamo in un mezzo materiale, aria, olio, vetro, …, attorno alla carica si vengono a formare tanti dipoli.

Non siamo più nel vuoto, ora sono presenti moltissime molecole. Il vettore P in figura, rappresenta uno di questi dipoli.

Sappiamo che un dipolo crea un suo campo elettrico che risulta contrario a quello generato dalla carica libera +Q_lib. (Vedi Come avviene la polarizzazione)

Il campo elettrico generato dal dipolo E_dipfa allora diminuira il campo elettrico E.

Il campo E diminuisce rispetto a quello che si aveva nel vuoto.

Campo elettrico nel vuoto

$\displaystyle{\mathbf{E_o=\frac{Q_{lib}}{4\pi\epsilon_o\, r^2}}}$

Campo elettrico in presenza di materia

$\displaystyle{\mathbf{E_o=\frac{Q_{lib}}{4\pi\epsilon_o\epsilon_r\, r^2}}}$

Ora è presente il termine ε_r, costante dielettrica relativa. Essa è una quantità maggiore di 1.

Per l’acqua ε_r= 80, questo significa che il campo elettrico nell’acqua viene ridotto di 80 volte rispetto a quello nel vuoto.

Per quanto detto fino ad ora è chiaro che per descrivere i fenomeni elettrici in presenza di un dielettrico, occorre utilizzare due vettori, il campo elettrico E e l’intensità di polarizzazione P

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{P}}=n\overrightarrow{\mathbf{p}}}}$

Questo vettore P è il momento di dipolo causato mediamente dal campo elettrico E nella singola particella moltiplicato per il numero di particelle per unità di volume.

Se il campo elettrico E è uniforme e il dielettrico omogeneo, esso fornisce il momento di dipolo globale prodotto da E e presentato dall’unità di volume del campo.

Per semplificare lo studio introduciamo un nuovo vettore, detto spostamento elettrico, che ci permette di eliminare le costanti dielettriche che rappresentano il vuoto o il tipo di meteriale.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{D}}=(\epsilon_o \epsilon_r)\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Questo vettore ha la stessa direzione e lo stesso verso del campo E.

Nel caso della carica Q di prima

$\displaystyle{\mathbf{E_o=\frac{Q_{lib}}{4\pi\epsilon_o\epsilon_r\, r^2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{D=\frac{Q_{lib}}{4\pi r^2}}}$

Utilizzando il vettore D non compaiono più le costanti dielettriche. D è un vettore che non sente la presenza del mezzo. Questo è vertamente conveniente perchè ci permette di non tenere conto delle cariche di polarizzazione che si generano nel mezzo.

Vediamo come riscrivere la legge di Gauss e la prima equazione di Maxwell utilizzando questo vettore D

Legge di Gauss

$\displaystyle{\mathbf{\Phi (\overrightarrow{\mathbf{D}})=\int\!\!\!\int_{\Sigma}\overrightarrow{\mathbf{D}}\cdot\hat{n}\, dS=q_{int}}}$

Prima equazione di Maxwell

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{D}}=\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{D}}=\rho_{lib}}}$

Come esempio consideriamo campo elettrico generato da uno strato piano uniformemente carico.

Nel vuoto

$\displaystyle{\mathbf{E_o=\frac{\sigma_{lib}}{2\,\epsilon_o}}}$

In presenza di materia

$\displaystyle{\mathbf{E_o=\frac{\sigma_{lib}}{2\,\epsilon_o\epsilon_r}}}$

Il campo elettrico si riduce perchè il mezzo risponde al campo E con una polarizzazione. Il mezzo si polarizza, ossia si formano dei dipoli orientati i quali creano un campo E_dip(campo del dipolo) che attenua il campo E. Il fattore di attenuazione è ε_r.

Se consideriamo il vettore spostamento elettrico

$\displaystyle{\mathbf{D=\frac{\sigma_{lib}}{2}}}$

Ora teniamo conto solo della carica libera.