Piano inclinato

E’ stato introdotto da Galilei per lo studio della caduta dei gravi. Le caratteristiche del moto di un oggetto che scende lungo un piano inclinato sono le stesse di un oggetto che cade liberamente. Il piano inclinato serve a ridurre l’accelerazione dell’oggetto, quindi a rallentarne il moto. L’accelerazione di gravita’ viene mitigata dal piano inclinato a seconda dell’angolo di inclinazione.

Ecco il nostro piano inclinato di un angolo α con sopra una massa. Le forze che agiscono sulla massa sono P forza peso e R_N reazione del vincolo (del piano) . Questa volta P e R_N non sono opposte come nel caso di un vincolo in piano perche’ P va verso il basso (il centro della terra) e R_N e’ sempre ortogonale al vincolo, cio’ vuol dire che le due forze non si possono compensare, perche’ non sono parallele.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R_N}\neq 0}}$ .

Per trovare la risultante devo usare la regola del parallelogramma, non le posso semplicemente sommare visto che non sono parallele.

La risultante e’ una forza che fa scivolare giu’ il corpo con un’accelerazione diversa da g. E’ un moto uniformemente accelerato.

Vediamo ora come si risolvono i problemi relativi al piano inclinato. Dato che le forze non sono parallele, dobbiamo scomporle lungo gli assi, ma non gli assi X e Y che in questo caso non ci sono molto utili, ma secondo due assi di cui uno segue il moto, asse t e uno e’ ad esso perpendicolare, asse n.

Dato che P e’ ortogonale alla base del triangolo e R_N e’ ortogonale all’ipotenusa, l’angolo tra il prolungamento di R_N e P e’ proprio α.

Applichiamo il secondo principio alla massa

$\displaystyle{.\mathbf{\hspace{2cm}\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R_N}=m\overrightarrow{a}}}$ .

Questa equazione vettoriale la proiettiamo lungo gli assi t e n ottenendo due equazioni scalari

asse n : R_N – Pcosα = ma_n = 0

asse t : Psinα = ma_t

Ovviamente anche l’accelerazione va scomposta lungo t e n. Lungo n, ma_n e’ pari a zero visto che non c’e’ movimento lungo quell’asse (n), invece l’equazione lungo t provoca lo scivolamento dovuto alla forza Psinα. R_N e Pcosα si annullano e non c’e’ movimento lungo n, la componente di P lungo t fa’ scivolare la massa.

asse n : R_N = Pcosα ⇒ R_N = mgcosα

asse t : Psinα = ma_t ⇒ mgsinα = ma_t ⇒ gsinα = a_t lo scivolamento e’ indipendente dalla massa, inoltre avviene con un’accelerazione che e’ diminuita dall’inclinazione del piano

Vediamo come affrontare lo studio cinematico della discesa della massa

abbiamo indicato con h l’altezza del piano inclinato, con L la lunghezza, V_fin e’ la velocita’ con cui la massa arriva alla base del piano. Supponiamo che la massa sia inizialmente ferma.

Partiamo dall’accelerazione che sappiamo essere costante e pari a gsinα. Il moto e’ uniformemente accelerato con a_t costante, durante il moto la velocita’, inizialmente nulla, aumenta nel tempo.

a = gsinα

Passiamo alla velocita’. Sappiamo che in un moto uniformemente accelerato V = a t + V₀ e se V₀ = 0 si ha V = a t nel nostro caso diventa

V = g t sinα

Per lo spazio percorso sappiamo che se X₀ = 0

$\displaystyle{.\mathbf{s=\frac{1}{2}at^2}}$ .

Nel nostro caso specifico s e’ L e inoltre h = Lsinα ⇒ L = h / sinα

Vogliamo trovare il tempo impiegato ad arrivare in fondo al piano inclinato e la velocita’ con cui ci arriva, ossia la velocita’ finale.

$\displaystyle{.\mathbf{L=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}g\sin \alpha t^2\Longrightarrow t=\sqrt{\frac{2L}{g\sin \alpha}}=\sqrt{\frac{2\frac{h}{\sin \alpha}}{g\sin\alpha}}=\sqrt{\frac{2h}{g\sin^2\alpha}}=\frac{1}{\sin\alpha}\sqrt{\frac{2h}{g}}}}$ .

Notiamo che sinα < 1 ⇒ 1 / sinα > 1 allora il tempo di discesa viene allungato dalla presenza del piano inclinato. Inoltre, se α = 90⁰ ritroviamo il tempo di caduta libera

$\displaystyle{\mathbf{t=\sqrt{\frac{2h}{g}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{v_{fin}=at_{fin}=g\sin\alpha\frac{1}{\sin\alpha}\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2hg^2}{g}}=\sqrt{2hg}}}$ .

Per la velocita’ finale troviamo lo stesso valore della caduta libera, quindi non dipende dall’inclinazione, infatti si allunga il tempo ma diminuisce l’accelerazione e il prodotto accelerazione per tempo rimane costante.

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