Moto dei gravi

Vogliamo studiare il moto di corpi mentre cadono o salgono, ossia il moto dei gravi.

Se ho un oggetto in mano e lo lascio, questo cade. Perche ? Perche’ c’e’ l’accelerazione di gravita’ ( la studieremo piu’ avanti ) che richiama tutti gli oggetti verso il basso, ossia verso il centro della terra. Se lascio cadere due oggetti diversi, ad esempio una mela e un foglio di carta vedo che la mela arriva subito a terra mentre il foglio, svolazzando arriva dopo un po’. Che ne deduciamo ? Che l’aria, fatta di particelle, sul foglio agisce come una resistenza e lo mantiene in aria piu’ a lungo della mela che offre meno area per l’attrito. Se ora appallottoliamo bene il foglio e ripetiamo l’esperimento vediamo che cadono insieme, arrivano a terra nello stesso momento. Facendo queste prove nel vuoto si vede che una piuma e una biglia cadono esattamente nello stesso modo. Possiamo dire che il cinematismo non dipende dalla massa.

Lanciamo un oggetto verso l’alto con velocita’ V₀. Vediamo che esso sale per un po’ e poi ricade nel punto da cui lo abbiamo lanciato. Che tipo di moto e’ ?

Si tratta di un Moto rettilineo perche’ avviene lungo un asse, che noi prendiamo come asse y, Nel punto piu’ alto, per un istante la velocita’ si annulla e poi inizia a cadere con velocita’ negativa.

La velocita’ di salita e’ positiva perche’ concorde con l’asse y, mentre quella di discesa, di caduta, e’ negativa perche’ discorde con l’asse delle y.

Come varia lo spazio nel tempo ?

Lo spazio aumenta nel tempo fino ad un massimo e poi diminuisce fino a tornare a zero.

Studiamo questo moto dei gravi :

Sappiamo che l’accelerazione e’ quella di gravita’, quindi e’ costante e diretta verso il basso

a(t) = – g

Per passare alla velocita’ dobbiamo integrare, procedendo come abbiamo fatto per lo studio dei moti precedenti

$\displaystyle{\mathbf{a = \frac{dv}{dt} = - g\Longrightarrow dv = -g dt}}$

Integrando

$\displaystyle{\mathbf{\int_{v_0}^{v(t)}\,dv = \int_{t_0}^{t}-g\,dt}}$

Risolviamo gli integrali

V(t) – V₀= -g(t – t₀)

Da cui ricaviamo V(t), ossia la velocita’ al tempo t generico

V(t) = V₀ -g(t – t₀) ponendo t₀ = 0

V(t) = V₀ -g t dove V₀ e’ la velocita’ iniziale di lancio

Vediamo infine la posizione, cioe’ lo spazio percorso nel tempo. Dobbiamo integrare la velocita’

$\displaystyle{\mathbf{\int_{y_0}^{y}\,dy = \int_{t_0}^{t}(v_0 - gt)\,dt}}$

Risolviamo

$\displaystyle{\mathbf{y(t) - y_0 = v_0 t -\frac{1}{2}g t^2}}$

infine

$\displaystyle{\mathbf{y(t) = y_0 + v_0 t -\frac{1}{2}g t^2}}$

Y₀ rappresenta la posizione iniziale, quella al momento del lancio.

Cosa ci viene chiesto negli esercizi sulla caduta dei gravi ? Di solito l’altezza massima raggiunta dal punto materiale e il tempo impiegato o a raggiungere tale altezza o quello complessivo, ossia quello per tornare al punto di partenza, detto anche tempo di volo. Vediamo come si deve procedere.

– Calcolo dell’altezza massima nel moto dei gravi

Occorre capire qual’e’ la condizione da imporre per sapere quando h = h_max. Quando l’oggetto raggiungi h_max la sua velocita’, in quell’istante, e’ nulla ( li’ inverte la sua velocita’ per tornare giu’), quindi la condizione e’

V(t) = 0 ⇒ V(t) = V₀ – g t = 0 ⇒ V₀ = g t

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{t = \frac{v_0}{g}}}$

Tempo per raggiungere h_max

Per sapere quanto e’ lo spazio percorso in questo tempo, quindi per avere proprio h_max basta mettere questo tempo nell’equazione dello spazio, ossia in

$\displaystyle{\mathbf{y(t) = y_0 + v_0 t -\frac{1}{2}g t^2}}$

Avremo allora, ponendo anche y₀ = 0 quota di partenza 0

$\displaystyle{\mathbf{y(t) = h = v_0 (\frac{v_0}{g}) - \frac{1}{2} g (\frac{v_0}{g})^2 = \frac{v_0^2}{2g}}}$

– Calcolo del tempo di volo nel moto dei gravi

Abbiamo detto che e’ il tempo che impiega dalla partenza al ritorno, Anche questa volta dobbiamo capire quale condizione imporre. Che si annulli la velocita’ ? NO !! Quando arriva a terra, eccome se ha velocita’, e non e’ affatto nulla, dopo si annulla, dopo l’urto. allora cosa e’ che si annulla ? La quota, torna a zero. La condizione da imporre e’ y = 0

$\displaystyle{\mathbf{y(t)= v_0 t - \frac{1}{2}g t^2 = 0}}$

Da cui

$\displaystyle{\mathbf{t(v_0 - \frac{1}{2}g t^2) = 0}}$

Per la legge di annullamento del prodotto deve essere

t = 0 e

$\displaystyle{\mathbf{v_0 - \frac{1}{2}g t = 0}}$

Da cui troviamo due soluzioni

t = 0

$\displaystyle{\mathbf{t = \frac{2v_0}{g}}}$

E’ giusto che abbiamo due soluzioni, intanto perche’ l’equazione e’ di secondo grado, e poi perche’ per y = 0 ci si passa due volte, una all’andata e una al ritorno. Geometricamente questo vuol dire che la parabola che rappresenta lo spazio percorso ha due punti in comune con la retta y = 0 ( guardate il grafico).

Attenzione : abbiamo trovato che il tempo per raggiungere h_max e’

$\displaystyle{\mathbf{t= \frac{v_0}{g}}}$

poi abbiamo trovato che il tempo di volo e’

$\displaystyle{\mathbf{t= \frac{2v_0}{g}}}$

Questo vuol dire che il tempo di volo e’ il doppio del tempo di salita, o anche che il tempo di salita e’ uguale al tempo di discesa, ossia e’ tutto simmetrico. Questo vale perche’ l’oggetto ritorna al punto di partenza, vedremo piu’ avanti casi in cui questo non vale piu’.

Ultima cosa, ma non meno importante, se prendiamo il tempo di volo e lo mettiamo nell’equazione della velocita’, troviamo la velocita’ con la quale l’oggetto arriva a terra

$\displaystyle{\mathbf{v = v_0 - g\frac{2v_0}{g} = - v_0}}$

La velocita’ con cui torna a terra e’ uguale a quella con cui e’ partito, pero’ cambiata di segno visto che ha direzione opposta.

Ora affrontiamo lo stesso moto ma dando all’oggetto un angolo iniziale di lancio Moto parabolico