Potenziale elettrostatico sistema discreto

Studiamo il potenziale elettrostatico per un sistema discreto di cariche.

Abbiamo un certo numero di cariche puntiformi 1,2,…,i,..n, ossia n sorgenti. Vogliamo calcolare il campo elettrico e il potenziale nel punto di osservazione scelto P(x,y,z).

Poniamo attenzione alla carica i-esima posta nel punto P_i (x_i, y_i, z_i). Indichiamo con r_iil vettore che collega il punto P_i a quello di osservazione P.

r_i lo possiamo esprimere vettorialmente

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{r}}_i=(x-x_i)\hat{i}+(y-y_i)\hat{j}+(z-z_i)\hat{k}}}$

oppure tramite il modulo

$\displaystyle{\mathbf{r=\sqrt{((x-x_I)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2}}}$

Ci serviranno entrambe tra poco.

Valutiamo il campo elettrico totale E

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\sum_i\overrightarrow{\mathbf{E}}_i=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\,\sum_iq_i\Bigl (\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}_i}{r^3}\Bigr )}}$

Il campo elettrico totale è la somma di tutti i campi dovuti alle n cariche.

Purtroppo nello studia del campo elettrico dobbiamo per forza usare i vettori perchè si tratta di una somma vettoriale. Tutti i contributi sono vettori.

Usiamo ora le espressioni scritte prima per il vettore che unisce la posizione di ciscuna carica con il punto di osservazione P(x , y , z)

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\,\sum_i q_i\Bigl (\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}_i}{r^3}\Bigr )=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\,\sum_i \, q_i\,\frac{(x-x_i)\hat{i}+(y-y_i)\hat{j}+(z-z_i)\hat{k}}{[(x-x_i)^2 +(y-y_i)^2 +(z-z_i)^2]^{\frac{3}{2}}}}}$

Questo è il campo elettrico dovuto a tutti i contributi.

Per il calcolo del potenziale, sempre nel punto P(x,y,z), le cose sono più semplici perchè il potenziale v è uno scalare.

$\displaystyle{\mathbf{V=\sum_i\, V_i=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\,\sum_i \frac{q_i}{r_i}=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\,\sum_i\, \frac{q_i}{\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2}}}}$

Questo è il potenziale elettrostatico generato da un sistema di cariche puntiformi in un punto P, è la somma di tutti i potenziali delle singole cariche.