Moto armonico

Prima di definire il moto armonico diciamo cos’e’ un moto periodico.

E’ un moto in cui un punto materiale descrive sempre lo stesso tragitto con un periodo T. Il periodo e’ il tempo che impiega a percorrere il suo tragitto. Questo puo’ essere qualunque, anche non chiuso, l’importante e’ che finito il percorso, il punto si ritrova nella posizione di partenza. Ad esempio il pendolo e’ un caso di moto periodico. Se un pendolo viene portato fuori dalla posizione di equilibrio oscilla percorrendo un arco di circonferenza e, in assenza di attriti che lo fermano, ha un moto periodico.

Il moto armonico e’ un caso particolare di moto periodico, esso ha la seguente legge oraria :

X(t) = A sin(ω t)

Dove ω e’ detta pulsazione, ω t angolo di fase e A elongazione.

Se riportiamo in un grafico l’andamento di X in funzione di ω t otteniamo il grafico arcinoto :

Questo ci e’ noto dalla trigonometria. Il punto materiale, nella realta’ che moto descrive ?

Il punto materiale passa ripetutamente da +A a -A invertendo il suo moto nei punti estremi.

Legame tra pulsazione e periodo

Supponiamo che il punto parta dall’istante t₁ dove l’angolo di fase vale α, Quando si ritrova nello stesso punto ? Dopo che ha percorso un ciclo completo, quindi non in t₃ ma in t₂ dove l’angolo di fase vale 2Π + α

$\displaystyle{\mathbf{2\pi + \alpha = \omega t_2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\alpha = \omega t_1}}$

Sottraendo membro a membro le due equazioni

$\displaystyle{\mathbf{2\pi = \omega(t_1 - t_2)}}$

t₁ – t₂ e’ il tempo impiegato a percorrere un ciclo completo, quindi e’ T ossia il periodo

$\displaystyle{\mathbf{2\pi = \omega t \Longrightarrow T = \frac{2\pi}{\omega}}}$

o anche

$\displaystyle{\mathbf{\omega = \frac{2\pi}{T}}}$

Introduciamo ora la frequenza, essa e’ l’inverso del periodo

$\displaystyle{\mathbf{f = \frac{1}{T}}}$

e si misura in s^-1 anche detti Hertz, il cui simbolo e’ Hz, Per capirci, se un giro completo viene percorso in 0,1 s, in 1s quanti giri riesce a compiere ?

$\displaystyle{\mathbf{T = 0,1 \Longrightarrow f = \frac{1}{0,1} = 10 Hz}}$

Introdotta la frequenza possiamo porre :

$\displaystyle{\mathbf{\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f}}$

Dopo tutte queste belle definizioni passiamo allo studio del moto di cui conosciamo la legge oraria

X(t) = A sin(ωt)

Per trovare la velocita’ dobbiamo derivare rispetto al tempo

$\displaystyle{\mathbf{v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left [A\sin (\omega t) \right ] = A \frac{d}{dt} \sin (\omega t) = A\omega \cos (\omega t)}}$

Ricordiamo che la derivata del sin e’ il cos, inoltre nell’argomento del sin non c’e’ solo t, ma ωt quindi dobbiamo derivare una funzione composta D[ sin(ωt)] = cos(ωt) D[ωt] = cos(ωt) ω .

Per trovare l’accelerazione dobbiamo derivare ancora

$\displaystyle{\mathbf{a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} A\omega \cos (\omega t) = A\omega \frac{d}{dt} \cos (\omega t) = A\omega (-\sin (\omega t))\omega = - A \omega^2 sin(\omega t)}}$

Questa volta dobbiamo ricordare che la derivata del cos e’ -sin .

Dato che X(t) = A sin(ωt) possiamo scrivere a come :

a(t) = -ω² X(t)

Grafichiamo tutto quello che abbiamo trovato :

Notiamo che nel punto in cui X vale +A e -A la velocita’ si annulla, infatti sono i punti di inversione del moto. Quando il punto passa per lo 0, la velocita’ e’ massima e cosi’ via. Inoltre l’accelerazione e lo spazio sono in opposizione di fase, ossia l’accelerazione e’ diretta lungo l’asse X, ha intensita’ proporzionale a X ma con verso contrario a X. Questo vuol dire che il vettore accelerazione e’ diretto sempre verso O.

Abbiamo espresso il moto armonico tramite la funzione sin, ma e’ ovvio che tutto resta valido se uso la funzione cos dato che sono uguali ma sfasate di π/2, in generale posso porre

X(t) = cos(ωt + Φ)

Posso anche considera il caso in cui il moto non sia centrato sullo 0, ma abbia una posizione di equilibrio diversa

Il centro non e’ piu’ sullo zero X(t) = Acos(ωt + Φ) + X_eq .

Iniziamo ora lo studio dei moti che avvengono in um piano Moti con traiettoria giacente in un piano