Dinamica dei fluidi-Equazione di continuità

Per lo studio della dinamica di un fluido, invece di seguire il moto delle singole particelle, conviene vedere cosa accade in un dato punto in un certo istante. Questo vuol dire descrivere il moto del fluido studiando l’andamento della densità e della velocità in un punto P(x,y,z) all’istante t. In tal modo ogni grandezza, come ad esempio la pressione, avrà ad ogni istante un valore definito in ogni punto del fluido.

Prima di iniziare vediamo le caratteristiche del moto di un fluido.

-Moto stazionario o non stazionario

Il moto è stazionario se la velocità del fluido è costante nel tempo in ogni punto. Per capirci, considerato un punto P, la velocità di ogni particella di fluido che passa per P è sempre la stessa. Questo è il caso di fluidi che si muovono lentamente.

Se il moto non è stazionario la velocità nel punto P è funzione del tempo.

-Moto rotazionale o irrotazionale

Se immettiamo una piccola ruota munita di palette in un fluido in moto, se essa prende a ruotare il moto del fluido è rotazionale. Quindi in ogni punto gli elementi di fluido hanno una velocità rotazionale non nulla. Questo, ad esempio è il caso di un gorgo.

-Fluido viscoso o meno

Abbiamo già visto che la viscosità di un fluido può essere paragonata all’attrito nei solidi in moto relativo uno rispetto all’altro. La viscosità genera forze tangenziali tra gli strati di fluido che scorrono l’uno sull’altro. Quello che si genera è dissipazione di energia.

-Fluidi comprimibili o no

Spesso possiamo ritenere che i liquidi fluiscano con caratteristiche di incomprimibilità, la loro densità rimane costante.

Nella trattazione che segue viene trattato il moto di fluidi incomprimibili, non viscosi, in moto stazionario e irrotazionale. Vuol dire che non consideriamo gorghi, cascate, moto turbolento in genere.

Tubo di flusso

Se il moto è stazionario, preso un punto P in un fluido, tutte le particelle che passano per P hanno stessa velocità (questa però può variare da punto a punto). Se continuiamo a seguire il moto di una particella, essa arriverà in un altro punto P’ con dove avrà una velocità v’, poi arriverà in P” con velocità v”

Quella disegnata è una linea di flusso.

Se il moto è stazionario, ogni particella che arriva in P segue quella linea di flusso.

Tracciamo ora una linea chiusa nel fluido

disegniamo poi le linee di flusso passanti per i punti della linea chiusa

Quello che otteniamo è un tubo di flusso.

Il tubo di flusso si comporta come un condotto (avente la sua stessa forma) e nessuna particella di fluido può attraversare il suo contorno.

Equazione di continuità

Normalmente viene dimostrata utilizzando un tubo di flusso, noi utilizzeremo un tubo vero dotato di due sezioni diverse. In tal modo vedremo subito tutte le implicazioni dell’equazione. Non cambia nulla tanto da un tubo di flusso le particelle non possono uscire così come da un tubo.

Questo è il nostro tubo che presenta due sezioni S₁ e S₂. Apriamo il rubinetto, dopo un transitorio iniziale l’acqua fluisce in regime stazionario.

Se immettiamo 100 gr di acqua, 100 gr ne devono fuoriuscire altrimenti vedremo il tubo gonfiarsi.

Nel tempo Δt vediamo quanta massa si stà spostando

Δm =ρ V

Il volume V dipende da Δt

V = S x = S v Δt x è la distanza percorsa nel tempo Δt e v è la velocità quindi x = v Δt

Δt è il nostro tempo di osservazione.

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\Delta m}{\Delta t}=\rho\, S\, v}}$

Il rapporto Δm/Δt è la portata di massa kg/s.

In corrispondenza di S₁ e S₂ si ha

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\Delta m_1}{\Delta t}=\rho_1\, S_1\, v_1}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\Delta m_2}{\Delta t}=\rho_2\, S_2\, v_2}}$

Dato che non ci sono perdite lungo il tubo Δm₁ = Δm₂ uguagliando le due relazioni si ottiene

$\displaystyle{\mathbf{\rho_1\, S_1\, v_1=\rho_2\, S_2\, v_2}}$

Se il liquido è incomprimibile ρ₁ = ρ₂

$\displaystyle{\mathbf{ S_1\, v_1= S_2\, v_2}}$

Ossia

S v = costante Questo prodotto è detto portata volumetrica m³/s

Se la portata è costante ne segue che ad una diminuzione di sezione deve corrispondere un aumento della velocità e viceversa.

Se nel passaggio da una sezione di un tubo ad un’altra diversa c’è veriazione di velocità, vuol dire che le particelle di acqua devono subire un’accelerazione o una decelerazione e questa può essere causata da una differenza di pressione o dalla gravità. Se il tubo è orizzontale la gravità non produce alcun cambiamento di velocità. Allora in un moto stazionario orizzontale la pressione è maggiore dove la velocità è minore.

Chiariamo meglio, se si passa da una sezione S₁ ad una S₂ più grande, dato che il prodotto S v deve rimanere costante, la velocità deve diminuire. Se il tubo è dritto, quindi se escludiamo la gravità, l’unica fattore che rimane è la pressione che aumenta.

Comunque sarà tutto più chiaro studiando l’equazione di Bernoulli .

Prossima lezione Equazione di Bernoulli