Forza gravitazionale e forza peso

Vogliamo capire la relazione tra forza gravitazionale e forza peso.

Approfondiremo, in una lezione ad essa dedicata, la forza che si esercita tra i pianeti, per poter introdurre la forza peso dobbiamo pero’ anticipare alcuni concetti sulle forze gravitazionali.

Tra due qualsiasi masse dell’universo si esercita una forza di attrazione reciproca che e’ proporzionale alle masse dei due corpi e decresce con il quadrato della loro distanza. La distanza tra i due corpi si misura tra i due centri.

$\displaystyle{\mathbf{.\hspace{2cm}F_G=F_{1,2}=F_{2,1}=G\frac{M_1M_2}{r^2}}}$

F_G e’ la forza di gravitazione. G e’ la costante di gravitazione universale, e’ uguale in tutto l’universo. E’ la stessa che regola l’attrazione tra il sole e la terra e un bicchiere e una bottiglia.

$\displaystyle{\mathbf{.G=6,67\cdot 10^{-11} \frac{N\cdot m^2}{k_g^2}\hspace{0,5cm}oppure\hspace{0,5cm}\frac{m^3}{k_g\cdot s^2}}}$ .

Affinche’ F_G assuma un valore rilevante almeno una delle due masse deve avere un valore elevato.

Vediamo cosa accade sulla terra. Tutto cio’ che e’ nelle sue vicinanze subisce una forza di attrazione verso il suo centro

$\displaystyle{\mathbf{F_g= G\frac{M_1M_2}{r^2}}}$ .

In omaggio a Newton consideriamo una mela posta su un albero, ad esempio a 2m di altezza.

$\displaystyle{\mathbf{.\hspace{2cm}F=G\frac{M_Tm_m}{(R_t+h)^2}}}$ .

R_t = raggio terrestre

h = altezza della mela sulla superficie terrestre

Mt = massa della terra

m_m = massa della mela

Ovviamente il disegno non e’ in scala.

La mela e’ attratta dalla terra e la terra e’ attratta dalle mela. Questa seconda forza, applicata alla terra e’ assolutamente ridicola.

Dato che R_t ≅ 6300 km, h = 2m possiamo certamente trascurare h rispetto a R_t.

$\displaystyle{\mathbf{F=G\frac{M_Tm_m}{(R_t+h)^2}=G\frac{M_Tm_m}{R_t^2}=m_m\left(G\frac{M_T}{R_t^2}\right)}}$ .

Consideriamo quello che abbiamo posto tra parentesi tonde, G = costante, M_T = costante, Rt = costante, quindi quel termine e’ costante (vedremo che non e’ esttamente cosi’), inoltre ha le dimensioni di un’accelerazione. Tutto quello tra parentesi lo chiamiamo g, accelerazione di gravita’. Allora la forza la possiamo esprimere

F = m g Forza peso che indichiamo con la lettera P. Quindi P = m g

Cerchiamo ora il valore di g

$\displaystyle{\mathbf{g=G\frac{M_T}{R_t^2}}}$ .

M_T = 5,97 10²⁴ kg , Rt ∼ 6300km , G = 6,67 10^-11 m³/kg s²

$\displaystyle{\mathbf{g=6,67\cdot 10^{-11}\frac{5,97\cdot 10^{24}}{(6,3\cdot 10^6)^2}\simeq9,8m/s^2}}$ .

Questo valore di g e’ caratteristico della terra, ogni pianeta ha la sua accelerazione di gravita’.

g non e’ proprio costante come la consideriamo normalmente, ma puo’ variare con la quota, con la latitudine, anche per la non omogeneita’ del sottosuolo.

Chiamiamo forza peso, P, la forza di attrazione gravitazionale esercitata dalla terra sui corpi vicini alla superficie terrestre. Forza peso e forza gravitazionale sono la stessa cosa, la forza gravitazionale, in prossimita’ della terra e’ detta forza peso.

Questa è la relazione tra forza gravitazionale e forza peso.

La forza peso e’ diretta lungo la verticale ed orientata verso il basso ed e’ normale alla superficie terrestre

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}}}$ .

E’ palese la differenza tra massa e peso, la massa e’ la quantita’ di materia ed e’ quindi uno scalare, il peso e’ la massa moltiplicata per g ed e’ un vettore che ha la direzione di g, diretto verso il basso e idealmente verso il centro della terra.

Tutti i corpi in prossimita’ della superficie terrestre hanno la stessa accelerazione di gravita’ g che vale circa 9,8 m/s² . Sulla luna g ha un altro valore, g = 1,6m/s², quindi il nostro peso sulla luna e’ minore.

Nello studio della cinematica abbiamo visto il moto dei gravi, ossia la caduta dei corpi. Ora vediamo che un corpo cade perche’ e’ soggetto alla forza peso P = m g dove m e’ detta massa gravitazionale, mentre in cinematica l’avevamo chiamata massa inerziale. La massa gravitazionale, a differenza di quella inerziale non costituisce un impedimento al moto, anzi piu’ e’ grande e piu’ ha forza di attrazione. Che differenza c’e’ tra le due masse ? Per ora diciamo che sono assolutamente equivalenti, possiamo dire che costituiscono due aspetti di una medesima cosa. Nella gravitazione approfondiremo questo concetto.

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Forza gravitazionale e forza peso

Nella prossima lezione vediamo un altro tipo di forze Forze di reazione vincolare