Campo magnetico generato da un filo rettilineo

Nel caso del campo elettrico abbiamo visil campo E di un filo uniformemente carico, ora vediamo il campo magnetico generato da un filo rettilineo percorso da corrente. Ricordiamo che solo le cariche in moto generano effetti magnetici.

Prima di iniziare vogliamo capire un concetto importante.

Questo è un filo percorso da corrente, non un filo sul quale abbiamo posto una distribuzione di carica λ.

C’è una differenza molto importante. In un filo percorso da corrente sono presenti cariche positive ferme (i nuclei degli atomi) e cariche negative mobili (gli elettroni). La corrente è dovuta agli elettroni che si stanno spostando.

Se sono presenti cariche di entrambi i segni vuol dire che il filo è elettricamente neutro. Anche se le cariche negative si stanno spostando, la neutralità è conservata.

Un filo conduttore non emette campo elettrico perchè è neutro. Emette solo campo magnetico.

Studiamo allora cosa crea, a livello magnetico, la corrente che scorre nel filo.

P è il punto nel quale vogliamo osservare il campo magnetico generato.

Idy (quello in rosso) è il tratto infinitesimo che genera il campo dB sempre infinitesimo.

Idy è la sorgente di dB.

Dato che stiamo studiando il campo generato e non l’effetto su di una carica o su di una corrente, dobbiamo usare la prima equazione di Laplace.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{B}}=\frac{\mu_o}{4\pi}\Bigl (Id\overrightarrow{\mathbf{L}}\Bigr )\times\Biggl (\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}\Biggr )}}$

Qual’è la direzione e il verso del vettore induzione magnetica ? Ce lo dice la regola della mano destra. Pollice dL , indice r , medio B.

Cerchiamo di capire il disegno.

Il vettore B è entrante nello schermo.

Il punto P dista x dal filo. Il tratto infinitesimo IdL dista y dall’origine. r è la distanza della sorgente infinitesima I dy da P

Se indichiamo con θ l’angolo tra l’asse x e r , quello tra y e r sarà π/2 + θ (quello in rosso).

Scriviamo il modulo del contributo dB al campo magnetico dovuto a Idy

$\displaystyle{\mathbf{dB=\frac{\mu_o}{4\pi}\,\frac{Idy}{r^2}\,\sin (\frac{\pi}{2}\, +\theta )}}$

In pratica abbiamo svolto il prodotto vettoriale.

Ci vuole ora un ricordo di trigonometria

$\displaystyle{\mathbf{\sin (\frac{\pi}{2}\, +\theta )=\cos\theta}}$

Lo sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{dB=\frac{\mu_o}{4\pi}\,\frac{Idy}{r^2}\,\cos\theta}}$

Per avere il valore totale del campo magnetico dobbiamo integrare dB lungo tutto il filo. Mentre percorriamo il filo dal basso verso l’alto, nell’integrazione, abbiamo diverse variabili. L’angolo θ varia, Il raggio r anche e il dy pure. Sono troppe. Vogliamo esprimere tutto in funzione dell’angolo θ.

Dalla figura

$\displaystyle{\mathbf{y=x\tan\theta}}$

Differenziamo

$\displaystyle{\mathbf{dy=xd(\tan\theta )}}$

x non lo dobbiamo differenziare perchè è costante.

$\displaystyle{\mathbf{d(\tan\theta )=\frac{d\theta}{cos^2\theta}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{dy=\frac{xd\theta}{cos^2\theta}}}$

Abbiamo così espresso dy in funzione dell’angolo θ. Facciamo la stessa cosa anche per il raggio r.

Sempre dalla figura

$\displaystyle{\mathbf{x=r\cos\theta\,\Longrightarrow\, r=\frac{x}{\cos\theta}}}$

Ora sostituiamo dy e r ,così trovati, nell’espressione di dB

$\displaystyle{\mathbf{dB=\frac{\mu_o}{4\pi}\,\frac{Idy}{r^2}\,\cos\theta=\frac{\mu_o I}{4\pi}\,\cfrac{\cfrac{xd\theta}{cos^2\theta}}{\cfrac{x^2}{\cos^2\theta}}\,\cos\theta}}$

Possiamo fare delle semplificazioni

$\displaystyle{\mathbf{dB=\frac{\mu_o I}{4\pi\, x}\,\cos\theta d\theta}}$

Questo è il contributo al campo magnetico generato dal pezzetto Idy. Ora integriamo lungo tutto il filo.

$\displaystyle{\mathbf{B=\int dB}}$

$\displaystyle{\mathbf{B=\frac{\mu_o I}{4\pi x}\int_{-\alpha}^{\beta} \cos\theta d\theta=\frac{\mu_o I}{4\pi x}[\sin(\beta)-\sin(-\alpha)]}}$

Abbiamo messo -α nell’estremo inferiore di integrazione perchè l’angolo è sotto l’asse x.

Attingiamo di nuovo alla trigonometria.

$\displaystyle{\mathbf{\sin(-\alpha)=-\sin\alpha}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{B=\frac{\mu_o I}{4\pi x}[\sin\beta +\sin\alpha]}}$

I due contributi, quello della parte inferiore (sotto l’asse x) e quella della parte superiore si sommano. In effetti i vettori induzione magnetica di entrambi sono entranti nel filo. Costituiscono un doppio contributo.

Nella prossima lezione vedremo il campo magnetico generato da un filo rettilineo infinitamente lungo, ossia la legge di Biot e Savat. Vedremo la forma delle linee di induzione e, infine, la legge di circuitazione di Ampere.

Leggi di Biot e Savat e di circuitazione di Ampere