giovedì, Maggio 2, 2024
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Come superare l'esame di fisica

Trasformazione adiabatica

La trasformazione adiabatica avviene senza scambio di calore con l’esterno. Il sistema è isolato.

\displaystyle{\mathbf{dQ=c_vdT+pdV=0}}

Riscriviamo la legge dei gas

\displaystyle{\mathbf{pV=nRT}}

che in termini differenziali diventa

\displaystyle{\mathbf{pdV+Vdp=nRdT}}

Ci ricaviamo dT

\displaystyle{\mathbf{dT=\frac{pdV+Vdp}{nR}}}

Questa la mettiamo nell’espressione del primo principio della termodinamica valido per una trasformazione adiabatica

\displaystyle{\mathbf{c_v\, \frac{pdV+Vdp}{nR}+pdV=0}}

Dividiamo in due la frazione

\displaystyle{\mathbf{\frac{c_v}{nR}\, pdV+\frac{c_v}{nR}\, Vdp+pdV=0}}

Mettiamo in evidenza pdV

\displaystyle{\mathbf{\frac{c_v}{nR}\, Vdp+pdV\Bigl (\frac{c_v}{nR}+1\Bigr )=0}}

Facciamo una frazione unica all’interno delle parentesi tonde

\displaystyle{\mathbf{\frac{c_v}{nR}\, Vdp+pdV\Bigl (\frac{c_v+nR}{nR}\Bigr )=0}}

Sostituiamo cv + nR = cp

\displaystyle{\mathbf{\frac{c_v}{nR}\, Vdp+\frac{c_p}{nR}\, pdV=0}}

Dividiamo tutto per cv / nR

\displaystyle{\mathbf{Vdp+\frac{c_p}{c_v}\, pdV=0}}

Poniamo ora

\displaystyle{\mathbf{\gamma =\frac{c_p}{c_v}}}.

\displaystyle{\mathbf{Vdp+\gamma\, pdV=0}}

Separiamo le variabili

\displaystyle{\mathbf{\frac{dp}{p}+\gamma\, \frac{dV}{V}=0}}

Integriamo ambo i membri tra un valore iniziale 1 e un valore finale 2

\displaystyle{\mathbf{\ln\frac{p_2}{p_1}+\gamma\ln\frac{V_2}{V_1}=0}}

Applicando le proprietà dei logaritmi otteniamo

\displaystyle{\mathbf{\ln\frac{p_2}{p_1}+\ln \Bigl (\frac{V_2}{V_1}\Bigr )^{\gamma}=0}}.

\displaystyle{\mathbf{\ln\Bigl (\frac{p_2V_2^{\gamma}}{p_1V_1^{\gamma}}\Bigr )=0}}

Da cui

\displaystyle{\mathbf{\frac{p_2V_2^{\gamma}}{p_1V_1^{\gamma}}=1}}

O meglio

\displaystyle{\mathbf{p_2V_2^{\gamma}=p_1V_1^{\gamma}}}

Legge della trasformazione adiabatica

\displaystyle{\mathbf{pV^{\gamma}=cost}}

 

Trasformazione adiabatica

La curva, dato che γ > 1, ha pendenza maggiore della curva isoterma

 

 

 

Dato che non c’è scambio di calore con l’esterno, la temperatura varia se espando o comprimo il gas. L’energia interna è sempre

\displaystyle{\mathbf{nc_v\Delta T}}

Mentre per il lavoro, essendo dQ=0, si avrà

\displaystyle{\mathbf{L=-nc_v\Delta T}}

 

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