Oscillatore armonico

Vogliamo studiare l’energia dell’oscillatore armonico.

Riprendiamo la nostra massa, la molla e la parete

In assenza di attriti, la massa oscilla perennemente tra +A e -A con legge oraria

X(t) = Acos(ωt + θ)

dove ω e’ la pulsazione delle oscillazioni libere ed e’ data da

$\displaystyle{\mathbf{\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}}}$ .

Conosciamo gia’ tutto questo, sappiamo anche che per avere la velocita’ dobbiamo derivare la X(t)

V(t) = – ωAsin(ωt + θ)

e conosciamo l’energia potenziale che e’ legata alla alla posizione

$\displaystyle{\mathbf{U(t)=\frac{1}{2}\,kx^2}}$ .

Vogliamo ora vedere come varia l’energia potenziale U(t) nel tempo. Per far questo sostituiamo in U(t) al posto di X la sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{U(t)=\frac{1}{2}\,k[A\cos(\omega t+\theta )]^2=\frac{1}{2}\, kA^2\cos^2(\omega t+\theta )}}$ .

Anche l’energia potenziale oscilla, ma non come la massa, U(t) oscilla con una legge che e’ legata al coseno al quadrato, non al coseno. Questo significa che il coseno non oscilla tra -1 e +1, ma tra 0 e 1 e U(t) oscillera’ tra zero e il suo valore massimo

Vediamo anche come varia l’energia cinetica

$\displaystyle{\mathbf{E_C=\frac{1}{2}\, mV^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{v(t)=-\omega A\sin (\omega t+\theta )}}$ .

Sostituiamo l’espressione della velocita’ nell’energia cinetica

$\displaystyle{\mathbf{E_C=\frac{1}{2}\, m\left [-\omega A\sin (\omega t+\theta )\right ]^2=\frac{1}{2}\, m\omega^2 A^2\sin^2 (\omega t+\theta )}}$ .

Anche l’energia cinetica oscilla tra zero e il suo valore massimo

I valori massimi delle energie sono

$\displaystyle{\mathbf{U_{max}=\frac{1}{2}\, kA^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_{Cmax}=\frac{1}{2}\, m\omega^2 A^2}}$ .

Notiamo ora che

$\displaystyle{\mathbf{\omega^2=\frac{k}{m}\Longrightarrow E_{Cmax}=\frac{1}{2}\, m\,\frac{k}{m}\, A^2=\frac{1}{2}\, kA^2}}$ .

Abbiamo trovato che il valore massimo dell’energia cinetica e’ uguale al valore massimo dell’energia potenziale.

Vediamo l’energia meccanica

$\displaystyle{\mathbf{E_m=U(t)+E_C(t)=\frac{1}{2}\,kA^2\cos^2 (\omega t+\theta )+\frac{1}{2}\,m\omega^2A^2\sin^2 (\omega t+\theta)}}$ .

Sappiamo che ω² = k/m sostituendolo si ha

$\displaystyle{\mathbf{E_m=\frac{1}{2}\,kA^2\cos^2 (\omega t+\theta )+\frac{1}{2}\,kA^2\sin^2(\omega t+\theta)=\frac{1}{2}\,kA^2\left [\cos^2 (\omega t+\theta)+\sin^2 (\omega t+\theta)\right ]=\frac{1}{2}\,kA^2}}$ .

Energia dell’oscillatore armonico.

L’energia meccanica non dipende dal tempo, ossia e’ costante nel tempo. Infatti sappiamo che in assenza di attriti E_m e’ costante, si conserva, sono E_C e U che variano nel tempo, ma la loro somma resta costante.

Nei punti -A e +A l’energia e’ tutta potenziale. Nel punto di equilibrio 0, l’energia e’ tutta cinetica.

Negli esercizi ci possono chiedere il valore della velocita’ in un punto x. Per trovarla partiamo dalla relazione dell’energia meccanica in un punto x qualunque

$\displaystyle{\mathbf{E_m=\frac{1}{2}\,kx^2+\frac{1}{2}\,mv^2=\frac{1}{2}\,kA^2}}$ .

Considerando il secondo e il terzo membro dell’equazione

$\displaystyle{\mathbf{kx^2+mv^2=kA^2\Longrightarrow mv^2=kA^2-kx^2\Longrightarrow v^2=\frac{k}{m}\,A^2-\frac{k}{m}\,x^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{v=\sqrt{\frac{k}{m}}\,\sqrt{A^2-x^2}}}$