Capacità di un condensatore con dielettrico

Prima di affrontare il calcolo della capacità di un condensatore con dielettrico dobbiamo calcolare la differenza di potenziale tra le sue armature. Diamo per scontato che sapete tutto sul condensatore piano.

La differenza di potenziale V_A– V_Bè data dall’integrale del campo elettrico E lungo un percorso qualsiasi che va dall’armatura A a quella B, ovviamente lo scegliamo diretto.

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=\int_A^BE\, dx}}$

Abbiamo scelto l’asse x verticale e diretto verso il basso. Il percorso da A a B si divide in tre parti. Da A ad A’ avviene nel vuoto, da A’ a B’ nel dielettrico e da B’ ad A di nuovo nel vuoto.

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=\int_A^{A'}E_o\, dx+\int_{A'}^{B'}E\, dx+\int_{B'}^BE_o\, dx}}$

Nei due tratti AA’ e B’B il campo elettrico è lo stesso, è E_oe il tratto in cui è presente è d-δ

$\displaystyle{\mathbf{\int_A^{A'}E_o\, dx+\int_{B'}^BE_o\, dx=E_o(d-\delta)}}$

Tra A’ e B’ il campo E è costante, non varia con la distanza

$\displaystyle{\mathbf{\int_{A'}^{B'}E\, dx=E\,\delta}}$

Per la differenza di potenziale si ha

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=E\,\delta+E_o(d-\delta)}}$

Notiamo che se spostiamo il dielettrico in su o in giù , la distanza d-δ non cambia, questo vuol dire che la differenza di potenziale non varia se trasliamo la lastra di dielettrico.

Scriviamo le espressioni dei campi elettrici E ed E_oricavati la lezione scorsa

$\displaystyle{\mathbf{E_o=\frac{\sigma_{lib}}{\epsilon_o}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\sigma_{lib}}{\epsilon_o\,\epsilon_r}}}$

E le mettiamo nell’espressione della differenza di potenziale

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=\frac{\sigma_{lib}}{\epsilon_o\,\epsilon_r}\, \delta+\frac{\sigma_{lib}}{\epsilon_o}\, (d-\delta)}}$

Mettiamo in evidenza σ_lib / ε_o

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=\frac{\sigma_{lib}}{\epsilon_o}\Biggl [\frac{\delta}{\epsilon_r}+(d-\delta)\Biggr ]}}$

Normalmente questa espressione la trovate scritta in un modo diverso, ricaviamola.

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=\frac{\sigma_{lib}}{\epsilon_o}\Biggl [\frac{\delta}{\epsilon_r}+d-\delta\Biggr ]}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=\frac{\sigma_{lib}}{\epsilon_o}\Biggl [d+\delta\,\Biggl (\frac{1}{\epsilon_r}-1\Biggr )\Biggr ]=\frac{\sigma_{lib}}{\epsilon_o}\Biggl [d-\delta\,\Biggl(\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r}\Biggr )\Biggr ]}}$

Ora siamo in grado di calcolare la capacità di un condensatore con dielettrico.

La capacità è la carica che mettiamo nel condensatore diviso la differenza di potenziale tra le armature.

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{Q}{V_A-V_B}}}$

Quale è la carica che allochiamo nel condensatore ? E’ quella sull’armatura, la carica di polarizzazione non la dobbiamo includere, essa si genera appena mettiamo la carica libera.

Se togliamo la carica libera, sparisce quella di polarizzazione. Se colleghiamo il condensatore con dei fili elettrici, la carica che possiamo portare via è quella libera.

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{Q_{lib}}{V_A-V_B}}}$

Facciamo le sostituzioni

$\displaystyle{\mathbf{Q_{lib}=\sigma_{lib}\, S}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=\frac{\sigma_{lib}}{\epsilon_o}\Biggl [d-\delta\,\Biggl(\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r}\Biggr )\Biggr ]}}$

La capacità diventa

$\displaystyle{\mathbf{C=\cfrac{\sigma_{lib}\, S}{\cfrac{\sigma_{lib}}{\epsilon_o}\Biggl (d-\delta\,\cfrac{\epsilon_r -1}{\epsilon_r}\Biggr )}=\epsilon_o\,\cfrac{S}{d-\delta\,\cfrac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r}}}}$

Senza dielettrico δ = 0 e

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{\epsilon_o\, S}{d}}}$

Torna la capacità a vuoto.

Se il dielettrico riempie tutto lo spazio δ = d

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{\epsilon_o\,\epsilon_r\, S}{d}}}$

Se riempiamo il condensatore con un dielettrico la capacità aumenta, questo perchè diminuisce il campo elettrico e diminuisce la differenza di potenziale.

Alla fine del nostro studio deduciamo che :

Per aumentare la capacità di un condensatore occorre inserire dielettrici con alti valori della costante dielettrica ε_r.