Come affrontare esercizi con funi pesi e piano inclinato

Scopriremo come affrontare esercizi con funi pesi e piano inclinato e quanto sia semplice.

 

Questo e’ un caso abbastanza classico, due masse m_A e m_B collegate tramite una fune e una carrucola poste su due piani diversamente inclinati uno di un angolo α e l’altro di un angolo β. Cosa succedera’ ? Le masse si muoveranno verso destra o verso sinistra ?.

Iniziamo lo studio dal caso senza attrito, poi vedremo quello in presenza di attrito.

Senza alcun timore, facciamo una ipotesi, se alla fine troviamo un valore negativo per l’accelerazione, vuol dire che abbiamo scelto il verso sbagliato. Diciamo allora che e’ m_A a trascinare m_B, quindi m_A scende lungo il piano inclinato mentre m_B viene trainata verso l’alto.

Scriviamo il secondo principio della dinamica per le due masse, proiettato lungo gli assi t, del moto e n, normale.

Massa m_A

asse n :  R_nA – P_A cosα = 0     non c’e’ movimento lungo l’asse n

asse t :  P_A sinα – T = m_A a 

Massa m_B

asse n :  R_nB – P_B cosβ = 0     non c’e’ movimento lungo l’asse n

asse t :  T – P_B sinβ = m_B a

Dato che non c’e’ attrito possiamo considerare le sole equazioni lungo l’asse t del moto, senza attrito non c’e’ legame tra le equazioni lungo t e n.

Sommo le due equazioni lungo t per togliermi di mezzo l’incognita T

P_A sinα – P_B sinβ = ( m_A + m_B) a  da questa ricaviamo l’accelerazione

.

L’accelerazione ci viene positiva se m_A sinα > m_B sinβ , se ci viene un valore negativo vuole semplicemente dire che e’ m_B a trainare m_A . Rimane da calcolare la tensione della fune sostituendo l’accelerazione trovata in una delle due equazioni lungo t. Prendiamo quella relativa alla massa m_B 

T –  P_B sinβ =  m_B a  ⇒ T = P_B sinβ + m_B a = m_B g sinβ + m_B a = m_B(g sinβ + a)  ora sostituisco a

.

Vediamo ora il caso in cui sono presenti le forze di attrito le quali tendono a frenare il moto delle due masse.

Come affrontare esercizi con funi, pesi e piano inclinato se è presente anche l’attrito.

Abbiamo introdotto nella figura le forze di attrito A_dA e A_dB che sono sempre opposte al moto che noi continuiamo a scegliere verso destra. Riscriviamo le equazioni lungo n e t

Massa m_A

asse n :  R_nA – P_A cosα = 0        lungo n non c’e’ moto

asse t :  – A_dA + P_A sinα – T = m_A a

Massa m_B

asse n :  R_nB – P_B cosβ = 0      come al solito non c’e’ movimento lungo n

asse t :  – A_dB – P_B sinβ + T = m_B a

Operando come al solito prendiamo le equazioni lungo t e le sommiamo

P_A sinα – P_B sinβ – (A_dA + A_dB) = ( m_A + m_B) a

A_dA = μ_dA R_nA  dall’equazione lungo n per la m_A trovo che R_nA = P_A cosα quindi

A_dA = μ_dAP_A cosα    ragionando in maniera analoga troviamo

A_dB = μ_dB P_B cosβ

Sostituendo queste troviamo

P_A sinα – P_B sinβ – ( μ_dAP_A cosα + μ_dB P_B cosβ) = ( m_A + m_B) a  ora calcoliamo a

.

Tenendo conto che P_A = m_A g  e che P_B = m_B g

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m_A sinα e m_B sinβ  sono i termini che comparivano anche in assenza di attrito, gli altri sono quelli introdotti dall’attrito e sono negativi perche’ riducono l’accelerazione.

Per la tensione della fune sostituiamo l’accelerazione in una delle due equazioni lungo t di partenza

.

Da notare che  μ_dBcosβ e’ positivo

A_dB aumenta la tensione della fune A_dA la riduce.

Nella prossima lezione iniziamo lo studio delle forze elastiche, questo e’ un capitolo piuttosto complesso, fate molta attenzione.

 Forze elastiche