Potenziale di un cilindro infinito

Come ultimo esempio di calcolo di potenziale affrontiamo quello del potenziale di un cilindro infinito.

Questo è il nostro cilindro visto in sezione.

R è il raggio del cilindro

ρ è la densità volumetrica di carica.

Per quanto riguarda il campo elettrico sappiamo già tutto. Conosciamo la sua espressione dentro e fuori del cilindro. (Campo generato da un cilindro infinito). Riassumiamo il tutto.

$\displaystyle{\mathbf{Per\,\,\, r<R\qquad E_{int}=\frac{\rho}{2\epsilon_o}\, r}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{Per\,\,\, r>R\qquad E_{est}=\frac{\rho}{2\epsilon_o}\,\frac{R^2}{r}}}$

Il campo elettrico interno è proporzionale alla distanza r dall’asse del cilindro. Il campo esterno diminuisce all’aumentare di r, la proporzionalità è inversa.

Dobbiamo valutare il potenziale sia dentro che fuori dal cilindro. Iniziamo a scegliere il riferimento, ossia lo zero per il potenziale. Lo prendiamo sulla frontiera del cilindro. Per noi, i punti sulla superficie sono quelli a potenziale zero.

Calcolo del potenziale esterno al cilindro

Il punto P_rif, in blu, è il nostro riferimento. P è , invece il punto dove vogliamo calcolare il potenziale. r è il percorso scelto, Lo abbiamo preso radiale in modo che il campo E il percorso r sono paralleli.

$\displaystyle{\mathbf{V(P)-V(P_{rif})=\int_r^RE_{est}\, dr}}$

Dato che il potenziale nel punto di riferimento è nullo

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\int_r^RE_{est}\, dr}}$

Sostituiamo, al posto del campo esterno, la sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\int_r^R\frac{\rho R^2}{2\epsilon_o r}\, dr}}$

Portiamo fuori dall’integrale la parte costante

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\frac{\rho R^2}{2\epsilon_o }\int_r^R\frac{dr}{r}=\frac{\rho R^2}{2\epsilon_o }\ln \frac{R}{r}}}$

Per disegnare il grafico del potenziale in funzione della distanza dall’asse del cilindro r, ci conviene girare l’argomento del logaritmo (mettendo il segno meno davanti al logaritmo).

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=-\frac{\rho R^2}{2\epsilon_o }\ln \frac{r}{R}}}$

E’ una curva logaritmica (girata per la presenza del segno meno) che si annulla per r = R, infatti se r = R si ha ln1 = 0.

Calcolo del potenziale interno al cilindro

Ricostruiamo tutto come al solito. Scegliamo un punto P ( interno) prendiamo un riferimento (come prima) e scegliamo un percorso (sempre radiale).

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\int_r^R E_{int}\, dr}}$

Sostituiamo al campo interno la sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\int_r^R \frac{\rho\, r}{2\epsilon_o}\, dr}}$

Portiamo fuori dall’integrale quello che è costante

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\frac{\rho }{2\epsilon_o}\int_r^R r\, dr=\frac{\rho}{2\epsilon_o}\, \frac{R^2-r^2}{2}=\frac{\rho}{4\epsilon_o}\, (R^2-r^2)}}$

E’ una parabola rovesciata

Andamento del potenziale complessivo di un cilindro infinito.

Questa è una funzione continua, infatti, essa ha derivata che è il campo E.