Potenziale sfera isolante

Nella lezione precedente Potenziale di una sfera conduttrice abbiamo visto il potenziale quando le cariche sono distribuite sulla superficie della sfera. Nel caso della sfera isolante le cariche si trovano anche al suo interno.

Questa è la nostra sfera isolante con distribuzione di carica uniforme.

Le cariche rimangono dove le posizioniamo, non sono libere di muoversi.

Riportiamo quanto studiato riguardo il campo elettrico dentro e fuori la sfera

$\displaystyle{\mathbf{r<R\qquad\qquad E_{int}=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o}\,\frac{r}{R^3}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{r>R\qquad\qquad E_{est}=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, r^2}}}$

All’interno della sfera il campo elettrico E aumenta linearmente con la distanza r dal centro, all’esterno diminuisce con il quadrato della distanza r.

Come al solito dobbiamo calcolare il potenziale all’interno e all’esterno della sfera conduttrice. Iniziamo con il potenziale all’esterno.

Dobbiamo scegliere un percorso che va dal punto P fino al punto di riferimento (all’infinito, dove il potenziale si annulla). Lo scegliamo radiale (che va come il raggio) in modo tale che il campo E e il cammino dr sono paralleli, in tal caso i vettori non ci interessano più .

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\int_r^{\infty} E_{est}\, dr}}$

Al posto del campo elettrico esterno mettiamo quanto riportato prima

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\int_r^{\infty}\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, r^2}\, dr}}$

Portiamo fuori dall’integrale tutto quello che è costante

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o}\int_r^{\infty}\frac{dr}{r^2}=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o}\, \Bigl [-\frac{1}{r}\Bigr ]_r^{\infty}=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, r}}}$

Anche il potenziale, così come il campo elettrico, coincide con quello di una carica puntiforme.

Vediamo ora il potenziale dentro la sfera isolante.

Come gia fatto per il caso della sfera conduttrice, per il calcolo del potenziale interno scegliamo un cammino che va dal punto P, di interesse, fino ad un punto B di frontiera dove conosciamo esattamente il valore del potenziale V(B).

V(B) è il potenziale interno per r → R

$\displaystyle{\mathbf{V(B)=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, R}}}$

Se non vi è ben chiaro il concetto sulla scelta del riferimento tornate alla lezione precedente

Quello che facciamo è il calcolo della differenza di potenziale tra i punto P, V(P), e il punto di riferimento B, V(B), dove V(B) non è un incognita, ma un termine noto.

$\displaystyle{\mathbf{V_{int}(P)-V(B)=\int_r^R E_{int}\, dr}}$

Avendo scelto il percorso che va da P fino al riferimento B, come al solito, lungo il raggio, E e dr sono collineari e non ci servono i vettori. Sostituiamo al campo interno la sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{V_{int}(P)-V(B)=\int_r^R\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o}\,\frac{r}{R^3}\, dr}}$

Portiamo fuori dall’integrale quello che è costante

$\displaystyle{\mathbf{V_{int}(P)-V(B)=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o \, R^3}\,\int_r^R r\, dr=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o \, R^3}\,\Bigl [\frac{r^2}{2}\Bigr ]_r^R=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o}\,\frac{R^2-r^2}{2R^3}}}$

Per avere il potenziale interno dobbiamo portare V(B) a destra dell’uguale e sostituire ad esso la sua espressione.

$\displaystyle{\mathbf{V_{int}(P)=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o}\,\frac{R^2-r^2}{2R^3}+V(B)}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_{int}(P)=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o}\,\frac{R^2-r^2}{2R^3}\, +\, \frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, R}}}$

Scriviamo meglio questa espressione. Dividiamo e moltiplichiamo la seconda frazione per 2R², in modo che entrambe le frazioni abbiano lo stesso denominatore. Mettiamo poi in evidenza Q_{tot /}4πε_o

$\displaystyle{\mathbf{V_{int}(P)=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o}\,\, \frac{R^2-r^2+2R^2}{2R^3}=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o}\,\, \frac{3R^2-r^2}{2R^3}}}$

Per ripotare l’andamento del potenziale in funzione della distanza r ricapitoliamo quanto trovato

$\displaystyle{\mathbf{V_{est}=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, r}}}$

Questa è l’equazione di una iperbole.

$\displaystyle{\mathbf{V_{int}(P)=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o}\,\, \frac{3R^2-r^2}{2R^3}}}$

Questa invece di una parabola con la concavità rivolta verso il basso ( è -r²)

Andamento del potenziale dentro e fuori della sfera isolante.