Campo magnetico nella materia

Fino ad ora il nostro studio del campo magnetico è stato solo nel vuoto, dove la permeabilità μ₀ha il valore numerico di 4π×10^-7. Passiamo ora a studiare il campo magnetico nella materia. Lo facciamo considerando un solenoide avvolto nel vuoto.

Campo magnetico del solenoide nel vuoto L’induzione magnetica B₀all’interno è

$\displaystyle{\mathbf{B_o=\mu_o\,\frac{NI_o}{L}}}$

N è il numero delle spire, L la lunghezza del solenoide.

Se non avete ancora studiato il solenoide lo trovate a questo link Campo magnetico generato da un solenoide.

L’induzione B₀ha la direzione dell’asse del solenoide e il verso è quello di avanzamento di una vite destra che gira come la corrente nelle spire.

Il rapporto N/L viene anche indicato con n_s , concentrazione delle spire.

Se nel solenoide inseriamo un nucleo di materiale ferromagnetico, il valore dell’induzione varia, diventa molto più grande. Si amplifica di un fattore μ_r

$\displaystyle{\mathbf{B= \mu_0\mu_r\,\frac{NI_0}{L}}}$

μ_rè la permeabilità relativa, è un numero puro che esprime di quante volte il campo magnetico è aumentato a causa della presenza del nucleo ferromagnetico.

Per studiare il campo magnetico nella materia occorre tenere in considerazione, oltre alla corrente impressa I₀tramite il generatore esterno, anche delle correnti atomiche dovute al moto delle cariche presenti negli atomi. (Questo argomento è spiegato in Materiali diamagnetici paramagnetici ferromagnetici).

La corrente I₀rimane invariata, mentre il vettore induzione magnetica che, in presenza di materia indichiamo con B e nel vuoto con B₀, ha un’intensità molto diversa.

Ricordiamo che quando scorre corrente la materia si ordina, ossia si creano dei domini nei quali tutti gli atomi hanno momenti magnetici coerenti. Le correnti atomiche si orientano nello stesso modo.

Oltre alla corrente I₀ora è presente il contributo delle correnti atomiche che è molto maggiore di quella impressa.

Dato che hanno tutte lo stesso verso, all’interno del materiale esse si compensano

In totale, il contributo del materiale è una corrente di magnetizzazione i_M che scorre lungo la superficie del mezzo.

Quella in blu è la corrente impressa dall’esterno, la I₀, quella in rosso è la corrente di magnetizzazione dovuta alla presenza del materiale ferromagnetico.

Ogni micro spira, generata dalla rotazione dell’elettrone intorno al nucleo, ha un suo momento. Vedi Momento di una spira.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{m}}=i\, S\, \hat{n}}}$

S è la sezione della spira, n è il versore della normale al piano della spira, il cui verso è quello di una vite destra che ruota come la corrente nella spira.

Il momento delle correnti atomiche sarà allora

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{m}}=n_s\, i_M\, S\, \hat{n}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{n_s=\frac{N}{L}}}$

Si definisce intensità di magnetizzazione il vettore M, momento magnetico per unità di volume del mezzo.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{M}}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{m}}}{S\times 1}=n_s\, i_M\, \hat{n}}}$

S×1 è l’unità di volume.

Lo studio del campo magnetico nella materia richiede l’utilizzo sia del vettore induzione magnetica B , sia del vettore intensità di magnetizzazione M.

Oppure, come già fatto per il campo elettrico, dove abbiamo introdotto il vettore D, possiamo definire il vettore H campo magnetico.

$\displaystyle{\mathbf{H=\frac{B}{\mu_0\mu_r}=\frac{NI_0}{L}}}$

Questo è un vettore indipendente dalla permeabilità magnetica, dipende dalla geometria e dalla corrente impressa da noi.

La corrente I₀, che facciamo scorrere, è quella che genera il campo magnetico H. E’ poi il vettore induzione magnetica B a risentire dell’effetto della materia.

$\displaystyle{\mathbf{B=\mu_0\mu_r H=\mu H}}$

Lo studio può essere fatto anche utilizzando i vettori B e H.

Il valore della permeabilità relativa μ_rdipende dal tipo di materiale.

I materiali ferromagnetici hanno un valore molto elevato di μ_rarrivando anche a 10³ ÷ 10⁵

I paramagnetici presentano un valore μ_r ≅ 1 , comunque > 1

I diamagnetici hanno un valore μ_r ≅ 1 , comunque < 1

Vediamo cosa succede in pratica quando inseriamo un nucleo di materiale all’interno del solenoide.

Solenoide nel vuoto Questo è il caso di un solenoide avvolto nel vuoto. Il vettore induzione magnetica al suo interno è B₀

Materiale diamagnetico Nel caso di nucleo diamagnetico le linee di induzione si allargano leggermente. Questo comporta una diminuzione, anche se lieve, dell’induzione B.

Se il nucleo è di materiale paramagnetico le linee di forza si stringono e il valore dell’induzione è un pò più intenso

Con i materiali ferromagnetici le linee di induzione si stringono molto di più e si ha un’esaltazione notevole di B.

Cerchiamo di capire perché succede questo. Prendiamo due mezzi con permeabilità magnetica diversa, μ_r1e μ_r2, chiamiamo S la loro superficie di separazione. Ovviamente sarà presente un campo magnetico. Andiamo a studiare cosa succede ai vettori induzione magnetica B e campo magnetico H proprio alla superficie di separazione S.

Superficie di separazione tra due mezzi Consideriamo una superficie chiusa Σ, quella tratteggiata, le cui superfici di base chiamiamo S1 e S2

$\displaystyle{\mathbf{.\qquad\qquad \Phi(\overrightarrow{\mathbf{B}})=0}}$

Separazione tra due mezzi Questa volta prendiamo una linea chiusa L che attraversa la superficie di separazione S. Indichiamo con L1 e L2 i due tratti più lunghi.

$\displaystyle{\mathbf{.\qquad\qquad\oint \overrightarrow{\mathbf{H}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}=0}}$

Queste relazioni sono le analoghe già viste per i vettori campo elettrico E e spostamento elettrico D.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi(\overrightarrow{\mathbf{D}})=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\oint \overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}=0}}$

Questo vuol dire che le ipotesi di continuità per il vettore B sono le stesse di quelle del vettore D. Analoga cosa vale per i vettori H e E.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi(\overrightarrow{\mathbf{B}})=\int_{\Sigma}\overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot \hat{n}\, d\Sigma=\int_{S_1}\overrightarrow{\mathbf{B}}_1\cdot\hat{n}\, dS_1-\int_{S_2}\overrightarrow{\mathbf{B}}_2\cdot\hat{n}\, dS_2=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{B_{n1}\, S_1 -B_{n2}\, S_2=0}}$ .

Dato che le due superfici sono uguali

$\displaystyle{\mathbf{B_{n1}=B_{n2}}}$

Il vettore B ha la componente normale continua.

Invece, per il vettore H, se trascuriamo i due lati minori molto più piccoli di L1 e L2

$\displaystyle{\mathbf{\oint \overrightarrow{\mathbf{H}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}=\int_{L_1} \overrightarrow{\mathbf{H}}_1\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}_1 - \int_{S_2}\overrightarrow{\mathbf{H}}_2\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}_2=0 }}$ .

$\displaystyle{\mathbf{H_{t1}\, L_1-H_{t2}\, L_2=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{H_{t1}=H_{t2}}}$

Il vettore H ha la componente tangenziale continua.

Indichiamo con φ₁e φ₂gli angoli che le linee di induzione di B₁e B₂formano con la normale n alla superficie

$\displaystyle{\mathbf{\tan\phi_1=\frac{B_{t1}}{B_{n1}}\qquad\qquad\tan\phi_2=\frac{B_{t2}}{B_{n2}}}}$

Dato che le componenti normali sono uguali

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\tan\phi_1}{\tan\phi_2}=\frac{B_{t1}}{B_{t2}}=\frac{\mu_o\mu_{r1}H_{t1}}{\mu_o\mu_{r2}H_{t2}}=\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}}}$ .

Sono uguali anche le componenti tangenziali di H.

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\tan\phi_1}{\tan\phi_2}= \frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}}}$

Questa relazione indica che, se le permeabilità magnetiche dei due mezzi sono diverse, lo sono anche gli angoli prima e dopo la superficie di separazione S.