Teoria degli urti

Questa parte sulla teoria degli urti è specifica per il liceo. Per fisica 1 li trovi qui Processi d’urto.

Consideriamo due corpi che si stano muovendo l’uno verso l’altro.

Le due masse sono destinate ad urtarsi

Urto tra due masse Ora le due masse si trovano ad occupare la stessa posizione nello stesso istante. Sono entrate in collisione.

Dopo l'urto Le due masse dopo l’urto.

Prima dell’urto le due masse hanno velocità v₁e v₂, dopo l’urto le velocità sono completamente diverse, le indichiamo con le lettere maiuscole, V₁e V₂.

Cosa succede durante l’urto? Accade che le due masse si scambiano delle forze. La forza F₁₂è quella che agisce sulla seconda massa a causa della prima, mentre F₂₁è la forza che la seconda massa applica sulla prima. Dato che il nostro sistema è formato dalle due masse, allora queste due forze sono forze interne al sistema. Il concetto di sistema e di forze esterne e interne lo abbiamo visto la lezione precedente.

Queste sono forze molto intense che agiscono per un tempo molto breve, la durata dell’urto.

Durante un urto possono essere presenti anche forze esterne al sistema, ad esempio la forza peso, ma la loro intensità, rispetto alle intense forze che si scatenano nel tempo dell’urto, risulta trascurabile. Questo vuol dire che possiamo non considerarle.

Durante un urto le masse si comportano come un sistema non soggetto a forze esterne. Il sistema è allora isolato e si conserva la quantità di moto.

Questo vale per tutti gli urti

→ Negli urti si conserva la quantità di moto.

Nel caso delle nostre due masse possiamo allora scrivere

$\displaystyle{\mathbf{m_1v_1+m_2v_2=m_1V_1+m_2V_2}}$

La quantità di moto totale del sistema prima dell’urto è uguale alla quantità di moto totale dopo l’urto. Questa relazione la possiamo scrivere per qualunque urto. Dico qualunque perché ci sono diversi tipi di urti.

Gli urti possono essere. elastici, anelastici, completamente anelastici.

Urto elastico

Durante un urto i corpi interessati si deformano a causa delle intense forze che agiscono. Corpi che hanno urti elastici riprendono la loro forma dopo l’urto senza dissipazione di energia.

→ Un urto è elastico se, oltre alla quantità di moto si conserva anche l’energia cinetica dei corpi.

Perché parliamo solo di energia cinetica e non di energia meccanica, somma della cinetica e della potenziale? Perché i corpi non variano la loro posizione durante un urto, quindi l’energia potenziale prima e dopo l’urto è la stessa.

Per un urto elastico possiamo scrivere due relazioni, La conservazione della quantità di moto e la conservazione dell’energia cinetica.

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases} \mathbf{m_1v_1+m_2v_2=m_1V_1+m_2V_2} \\ \mathbf{\frac{1}{2}\, m_1v_1^2+\frac{1}{2}\, m_2v_2^2 =\frac{1}{2}\, m_1V_1^2+\frac{1}{2}\, m_2V_2^2}\end{cases}}}$

Queste sono le relazioni che possiamo applicare per gli urti elastici.

Urto anelastico

Un urto è anelastico se si ha variazione dell’energia cinetica del sistema, ossia essa non si conserva. Per questo tipo di urto possiamo solo applicare la conservazione della quantità di moto.

$\displaystyle{\mathbf{m_1v_1+m_2v_2=m_1V_1+m_2V_2}}$

Urto completamente anelastico

Urto completamente anelastico Dopo l’urto le due masse rimangono unite e procedono, quindi con la stessa velocità V.

→ In un urto completamente anelastico la velocità finale è la stessa per entrambi i corpi. Vale solo la conservazione della quantità di moto.

$\displaystyle{\mathbf{m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)V}}$

A seconda del tipo di urto useremo la relazione o le relazioni valide. Vediamo in particolare l’urto elastico. Studiamo il caso generale, quello più difficile, poi vedremo i casi particolari.

Partiamo dalle relazioni valide per questo tipo di urto.

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases} \mathbf{m_1v_1+m_2v_2=m_1V_1+m_2V_2} \\ \mathbf{\frac{1}{2}\, m_1v_1^2+\frac{1}{2}\, m_2v_2^2 =\frac{1}{2}\, m_1V_1^2+\frac{1}{2}\, m_2V_2^2}\end{cases}}}$

Portiamo a sinistra dell’uguale tutto quello che riguarda la massa 1 e a destra quello che riguarda la massa 2. Inoltre moltiplichiamo per 2 la seconda relazione, quella della conservazione dell’energia cinetica.

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases} \mathbf{m_1v_1-m_1V_1=m_2V_2-m_2v_2} \\ \mathbf{\, m_1v_1^2- m_1V_1^2 = m_2V_2^2- m_2v_2^2}\end{cases}}}$

Mettiamo in evidenza le masse

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases} \mathbf{m_1(v_1-V_1)=m_2(V_2-v_2)} \\ \mathbf{\, m_1(v_1^2-V_1^2)=m_2(V_2^2-v_2^2)}\end{cases}}}$

Nella seconda equazione sviluppiamo il prodotto notevole

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases} \mathbf{m_1(v_1-V_1)=m_2(V_2-v_2)} \\ \mathbf{\, m_1(v_1-V_1)(v_1+V_1)=m_2(V_2-v_2)(V_2+v_2)}\end{cases}}}$

Ora dividiamo la seconda equazione per la prima. Significa semplicemente che dividiamo membro a membro

$\displaystyle{\mathbf{\frac{m_1(v_1-V_1)(v_1+V_1)}{m_1(v_1-V_1)}=\frac{m_2(V_2-v_2)(V_2+v_2)}{m_2(V_2-v_2)}}}$

Abbiamo un bel po’ di cose da semplificare

$\displaystyle{\mathbf{ v_1+V_1=V_2+v_2}}$

Questa ottenuta la mettiamo a sistema con la prima equazione della conservazione della quantità di moto

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases} \mathbf{ v_1+V_1=V_2+v_2 }\\\mathbf{m_1(v_1-V_1)=m_2(V_2-v_2)}\end{cases}}}$

Ora se ricaviamo V₂ dalla prima, velocità della seconda massa dopo l’urto, e la sostituiamo nella seconda, con semplici passaggi troviamo la velocità della prima massa dopo l’urto.

$\displaystyle{\mathbf{V_1=\frac{v_1(m_1-m_2)+2m_2v_2}{m_1+m_2}}}$

Se invece ricaviamo V₁possiamo trovare V₂

$\displaystyle{\mathbf{V_2=\frac{v_2(m_2-m_1)+2m_1v_1}{m_1+m_2}}}$

Niente panico, difficilmente dovete risolvere tutto il sistema, normalmente vi danno delle condizioni che semplificano molto le cose.

Vi possono dire che la seconda massa prima dell’urto è ferma. Allora il sistema di partenza, mettendo v₂= 0 diventa

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases} \mathbf{m_1v_1=m_1V_1+m_2V_2} \\ \mathbf{\frac{1}{2}\, m_1v_1^2 =\frac{1}{2}\, m_1V_1^2+\frac{1}{2}\, m_2V_2^2}\end{cases}}}$

Facendo quello visto prima troviamo

$\displaystyle{\mathbf{V_1=\frac{v_1(m_1-m_2)}{m_1+m_2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_2=\frac{2m_1v_1}{m_1+m_2}}}$

Se oltre a v₂= 0, le due masse sono uguali risulta

$\displaystyle{\mathbf{V_1=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_2=v_1}}$

La prima massa si ferma e la seconda si mette in moto con la velocità della prima.

Nella esercizi vedrete che è tutto più semplice.

Se hai problemi con la teoria degli urti contattaci , anche per una domanda. Cerchiamo di rispondere a tutti.