Energia potenziale di una carica puntiforme

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Vogliamo calcolare l’energia potenziale posseduta dalla carica +q quando viene posta nel campo elettrico generato da una sorgente +Q, a distanza r da essa.

Questa energia corrisponde al lavoro che la forza del campo Fe compie per portare la carica +q dal punto a distanza r fino ad un punto scelto come riferimento. Se non sai di cosa stiamo parlando torna alla lezione precedente Energia potenziale elettrica.

Dove prendiamo il punto in cui porre uguale a zero l’energia potenziale elettrica ? Ossia, dove scegliamo il riferimento ?

Lo prendiamo all’infinito (infinitamente lontano) lì dove le azioni del campo elettrico non si sentono più. Ricordate che il campo elettrico diminuisce con la distanza dalla sorgente, nel caso di una sorgente puntiforme come +Q.

Nel disegno il punto O è quello dove è posizionata la carica sorgente +Q. Nel punto A si trova la carica +q . B è il punto scelto come riferimento zero per l’energia potenziale elettrica. Fe è la forza che esercita il campo elettrico generato da +Q su +q.

Indichiamo con r_A la distanza del punto A dalla posizione di +Q, che è O, con r_Bquella del punto B sempre da O.

$\displaystyle{\mathbf{r_A=OA}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{r_B=OB}}$

Definizione di lavoro

$\displaystyle{\mathbf{L=F\, s\, \cos\alpha }}$

Forza per spostamento per il coseno del loro angolo. Nel nostro caso lo spostamento

$\displaystyle{\mathbf{s=r_B-r_A}}$

e la forza Fe formano un angolo di zero gradi (sono affilati) e coso^o= 1

$\displaystyle{\mathbf{L=F_e \, s=F_e(r_B-r_A}}$

Esprimiamo la forze Fe, la la forza di Coulomb

$\displaystyle{\mathbf{F_e=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\, \frac{Qq}{d^2}=K_0 \frac{Qq}{d^2}}}$

Sostituiamo Fe nell’espressione del lavoro

$\displaystyle{\mathbf{L=K_0 \frac{Qq}{d^2}\, (r_B-r_A)}}$

Quel d che compare a denominatore della Fe è la distanza tra il punto dove è applicata la forza, quindi dove si trova +q, e quello dove stà la sorgente +Q. Che distanza ci mettiamo visto che d varia tra r_Ae r_B?

Come distanza d prendiamo la media geometrica tra r_Ae r_B

Media geometrica

$\displaystyle{\mathbf{Mg=\sqrt{r_A\, r_B}}}$

Sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{L=K_0 \frac{Qq}{(\sqrt{r_a\, r_B)}^2}\, (r_B-r_A)=K_0 \frac{Qq}{r_A\, r_B}\, (r_B-r_A)}}$

Ora dobbiamo fare un pò di passaggi matematici

$\displaystyle{\mathbf{L=K_0 Qq\,\Biggl (\frac{r_B-r_A}{r_Ar_B}\Biggr )=K_0Qq\,\Biggl (\frac{r_B}{r_Ar_B}-\frac{r_A}{r_Ar_B}\Biggr )=K_0Qq\,\Biggl (\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_B}\biggr )}}$

Semplicemente abbiamo diviso in due frazioni quello che c’è tra parentesi e poi abbiamo semplificato. Ora svolgiamo le moltiplicazioni.

$\displaystyle{\mathbf{L=K_0 \,\frac{Qq}{r_A}-K_0\,\frac{Qq}{r_B}=U_A-U_B}}$

Ricordate che nella lezione precedente avevamo posto il lavoro pari alla variazione di energia potenziale ? Lo trovate qui Energia potenziale elettrica.

Prima abbiamo scelto, come riferimento per l’energia potenziale elettrica, il punto B, lì, per noi, U_B= 0. Quindi

$\displaystyle{\mathbf{L=U_A=K_0\,\frac{Qq}{r_A}}}$

In generale, l’energia potenziale elettrica di una carica puntiforme q a distanza r dalla sorgente Q è

$\displaystyle{\mathbf{U=K_0\,\frac{Qq}{r}}}$

– L’energia potenziale di una carica q a distanza r dalla sorgente Q che genera il campo, esprime il lavoro che la forza del campo compie per spostare q dal punto a distanza r fino all’infinito. Questo vale qualunque sia la traiettoria seguita.

Possiamo però anche dire che

esprime il lavoro che noi dobbiamo compiere per portare la carica q dall’infinito fino a distanza r dalla sorgente Q.

Se vogliamo avvicinare una carica positiva +q ad una sorgente, sempre positiva, dobbiamo essere noi a compiere lavoro, spontaneamente, ad opera del campo elettrico, non avverrà mai.

Cosa succede se la sorgente è positiva +Q mentre la carica q è negativa -q ?

In questo caso la forza elettrica porterà la carica -q verso la sorgente +Q, ossia compie lavoro per avvicinarla. Per allontanarla dobbiamo essere noi a compiere lavoro.