Terza equazione di Maxwell

Per introdurre la terza equazione di Maxwell dobbiamo ricordarci alcune relazioni. Prima di tutto la legge di Gauss

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma} ( \overrightarrow{\mathbf{E}} )=\int_{\Sigma} \overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot \hat{n}\, dS=\frac{q_{int}}{\epsilon_o}}}$

Σ è la superficie di Gauss ed è una superficie chiusa, q_intè la carica interna a Σ.

Seconda cosa da ricordare è l’espressione del teorema della divergenza

$\displaystyle{\mathbf{\int_{\Sigma} \overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot \hat{n}\, dS=\int_{\tau}div\overrightarrow{E} d\tau}}$

Anche questo teorema vale per superfici chiuse. τ è il volume racchiuso dalla superficie Σ.

In termini differenziali si ha

$\displaystyle{\mathbf{d\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=div\overrightarrow{\mathbf{E}} d\tau=\frac{dq_{int}}{\epsilon_o}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{dq_{int}}{d\tau\,\epsilon_o}}}$

Per distribuzioni di carica uniformi

$\displaystyle{\mathbf{\frac{dq_{int}}{d\tau}=\frac{q_ {int}}{\tau}=\rho}}$

Sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\rho}{\epsilon_o}}}$

Altra cosa da ricordare è che la divergenza del vettore campo elettrico E la possiamo esprimere anche in un altro modo, tramite l’operatore nabla ∇.

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{E}}=\hat{i}\,\frac{\partial E_x}{\partial x}\, +\, \hat{j}\,\frac{\partial E_y}{\partial y}\,+\,\hat{k}\,\frac{\partial E_z}{\partial z}=\Biggl (\hat{i}\,\frac{\partial}{\partial x}\, +\,\hat{j}\frac{\partial}{\partial y}\,+\,\hat{k}\,\frac{\partial}{\partial z}\Biggr )\cdot\Biggl (\hat{i}\, E_x\, +\,\,\hat{j}\, E_y\, +\, \hat{k}\, E_z\Biggr )}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{E}}=\nabla\cdot \overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\rho}{\epsilon_o}}}$

Abbiamo rispolverato la prima equazione di Maxwell.

Considerate allora le due equazioni

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma} ( \overrightarrow{\mathbf{E}} )=\int_{\Sigma} \overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot \hat{n}\, dS=\frac{q_{int}}{\epsilon_o}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\rho}{\epsilon_o}}}$

Vogliamo scriverne le equivalenti per il magnetismo, quindi per il vettore induzione magnetica B.

Continuando sempre ad utilizzare l’analogia tra fenomeni elettrici e fenomeni magnetici, poniamo

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma} ( \overrightarrow{\mathbf{B}} )=\int_{\Sigma} \overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot \hat{n}\, dS=q_{int}\,\,\mu_o}}$ .

Questa volta, però, la carica interna alla superficie Σ è magnetica che, per sua natura, non può essere divisa. Non possiamo avere una carica Nord e una carica Sud. Ciò significa che la carica magnetica è intrinsecamente neutra.

Vi ricordate che per un dipolo elettrico la carica netta è nulla ? Allo stesso modo, nel dipolo magnetico, la carica netta è nulla. Come conseguenza avremo che il flusso del vettore induzione magnetica attraverso la superficie Σ è nullo.

$\displaystyle{\mathbf{q_{int}=0}}$

Da cui

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma} ( \overrightarrow{\mathbf{B}} )=0}}$

Risulta allora nulla anche l’equivalente della prima equazione di Maxwell

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{B}}=\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{B}}=0}}$

Si dice che il vettore induzione magnetica B è solenoidale e che le linee di forza non hanno sorgente. Non nascono da una sorgente per finire all’infinito, ma girano in tondo. In assenza di sorgenti le linee di forza formano una linea chiusa.