Collegamento tra condensatori

Ci sono due modi per fare un collegamento tra condensatori, in serie o in parallelo.

Questo è il simbolo che viene usato per i condensatori nei circuiti elettrici.

Configurazione in parallelo

In questo tipo di collegamento, due armature, una di C₁e una di C₂, sono collegate al potenziale positivo +V_Ae le altre due a quello negativo -V_B. I due condensatori hanno la stessa differenza di potenziale ai loro capi.

Carichiamo ora i due condensatori, ad esempio applicando una batteria. Si posizionano le cariche positive +q sulle armature positive e, per induzione si formano le cariche -q.

Scriviamo le capacità per i due condensatori

$\displaystyle{\mathbf{C_1=\frac{Q_1}{V_A-V_B}\qquad C_2=\frac{Q_2}{V_A-V_B}}}$

Questi due condensatori li possiamo vedere come un unico condensatore nel quale possiamo allocare la carica

$\displaystyle{\mathbf{Q=Q_1+Q_2}}$

Il pedice p stà per parallelo

$\displaystyle{\mathbf{C_P=\frac{Q_1+Q_2}{V_A-V_B}=\frac{Q_1}{V_A-V_B}+\frac{Q_2}{V_A-V_B}=C_1+C_2}}$

$\displaystyle{\mathbf{C_P=C_1+C_2}}$

I due condensatori C₁e C₂equivalgono ad un unico condensatore di capacità C_Ppari alla somma delle due capacità.

Questo vale anche nel caso generale di n condensatori collegati in parallelo, essi equivalgono ad un unico condensatore di capacità

$\displaystyle{\mathbf{C_P=C_1+C_2+C_3+\cdots + C_n=\sum_{i=1}^{n} C_i}}$

Configurazione in serie

In questo caso un’armatura del primo condensatore è collegato al potenziale maggiore e un’armature del secondo al potenziale minore. Le altre due armature sono in comune, punto M.

Se posizioniamo la carica +Q sulla prima armatura di C₁subito, per induzione, si forma la carica -Q sull’altra armatura. Dato che la parte disegnata in rosso è tutto un conduttore, vuol dire che cariche negative sono state richiamate verso l’alto dalla carica +Q.

Se le cariche negative sono salite, allora si sono scoperte altrttante cariche positive sull’armatura di C₂collegata al punto M. Di conseguenza, per induzione, abbiamo la formazione di carica negativa sulla seconda armatura.

Alla fine, quanta carica c’è in quel sistema di condensatori ? La carica è la prima in alto, la +Q. Infatti, se togliamo questa carica +Q, spariscono anche tutte le altre che si sono formate proprio per la presenza di +Q.

Se preleviamo carica da quel sistema preleviamo solo la +Q.

Scriviamo ora le capacità dei due condensatori

$\displaystyle{\mathbf{C_1=\frac{Q}{V_A-V_M}}}$

Il condensatore C₁si trova tra i punti A e M

$\displaystyle{\mathbf{C_2=\frac{Q}{V_M-V_B}}}$

Invece C₂tra i punti M e B

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_M=\frac{Q}{C_1}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_M-V_B=\frac{Q}{C_2}}}$

Per trovare un unico condensatore equivalente ai due in serie, dobbiamo togliere di mezzo quel punto M. Sommiamo allora le due espressioni appena scritte.

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}=Q\Biggl (\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\Biggr )}}$

C_Svuol dire condensatore serie. Per questo condensatore possiamo scrivere

$\displaystyle{\mathbf{C_S=\frac{Q}{V_A-V_B}\,\,\Longrightarrow\,\, V_A-V_B=\frac{Q}{C_S}}}$

Confrontiamo le due relazioni

$\displaystyle{\mathbf{ V_A-V_B=\frac{Q}{C_S}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=Q\Biggl (\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\Biggr )}}$

deduciamo che

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{C_S}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}}$

L’inverso della capacità equivalente C_S è pari alla somma degli inversi delle due capacità in serie C₁e C₂.

Se le capacità sono in numero di n

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{C_S}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots+\frac{1}{C_n}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{C_i}}}$

Nel caso di due sole capacità

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{C_S}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{C_1+C_2}{C_1C_2}\,\Longrightarrow\, C_S=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}}}$

Abbiamo concluso il collegamento tra condensatori.