Energia elettrostatica

Questa lezione sull’energia elettrostatica è piuttosto lunga e complessa. Mettetevi molto comodi e armatevi di tanta pazienza.

Partiamo da un sistema formato da tre cariche +q₁ , +q₂e +q₃ poste rispettivamente nei punti 1, 2 e 3.

r₁₃, r₁₂, r₂₃sono le reciproche distanze tra le cariche. Abbiamo tre cariche dello stesso segno, quindi il sistema è sicuramente instabile. Se lo lasciamo a se stesso le cariche si allontanano immediatamente.

Per arrivare a questa configurazione dobbiamo spendere del lavoro che viene immagazzinato sotto forma di energia dal sistema. Questa energia la chiamiamo energia elettrostatica.

Per avvicinare le cariche compiamo un lavoro e immagazziniamo energia nel sistema.

Vogliamo calcolare proprio questo lavoro, ossia quello che dobbiamo compiere dall’esterno per arrivare a quella configurazione.

Supponiamo che, inizialmente, le tre cariche si trovano all’infinito, lì dove poniamo nullo il potenziale (infinito è il nostro riferimento).

Iniziamo a portare la prima carica +q₁dall’infinito fino al punto 1.

Il lavoro compiuto è nullo perchè nello spazio tra l’infinito e il punto 1 non c’è niente, nessun campo elettrico E da vincere.

$\displaystyle{\mathbf{L_1=0}}$

Ora portiamo la seconda carica dall’infinito fino al punto 2. Questa volta dobbiamo compiere lavoro dato che la carica +q₁ ha creato il suo campo elettrico E, che dobbiamo vincere, e le superfici equipotenziali.

Per portare +q₂nel punto 2 dobbiamo compiere un lavoro. L’avvicinamento di due cariche dello stesso segno non può avvenire spontaneamente.

Questo lavoro, che chiamiamo L2 , è opposto a quello della forza elettrica.

$\displaystyle{\mathbf{L_2=-Lel}}$

Valutiamo il lavoro compiuto dalla forza elettrica

$\displaystyle{\mathbf{L_{el}=q_2(V_i-V_f)}}$

E’ il valore della carica per la differenza di potenziale tra il punto iniziale e quello finale. V_i è il potenziale di riferimento, la carica parte dall’infinito, V_f è il potenziale del punto 2.

$\displaystyle{\mathbf{L_{el}=q_2(V_{rif}-V_2)=q_2(0-V_2)=-\, q_2V_2\, <0}}$

Il lavoro che dobbiamo compiere dall’esterno diventa

$\displaystyle{\mathbf{L_2=-L_{el}=-(-q_2V_2)=q_2V_2}}$

Questo è un lavoro positivo, infatti la forza che applichiamo dall’esterno ha lo stesso verso dello spostamento. Quanto vale V₂ ? E’ il potenziale che c’è nel punto 2 e generato dalla carica +q₁

$\displaystyle{\mathbf{V_2=\frac{q_1}{4\pi\epsilon_o\, r_{12}}}}$

In pratica è il potenziale che c’era prima di metterci +q₂. Sostituiamo in L₂

$\displaystyle{\mathbf{L_2=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_o\, r_{12}}}}$

Ora prendiamo la terza carica e la portiamo dall’infinito fino al punto 3. Che lavoro dobbiamo compiere questa volta ?

$\displaystyle{\mathbf{L_3=q_3V_3}}$

Dove V₃è il potenziale generato +q₁e +q₂nel punto 3, ora abbiamo due cariche che generano un campo elettrico. V₃è la somma di V1 e V2 (sovrapposizione degli effetti).

$\displaystyle{\mathbf{V_3=\frac{q_1}{4\pi\epsilon_o\, r_{13}}+\frac{q_2}{4\pi\epsilon_o\, r_{23}}}}$

Per il lavoro si ha

$\displaystyle{\mathbf{L_3=q_3V_3=q_3\Bigl (\frac{q_1}{4\pi\epsilon_o\, r_{13}}+\frac{q_2}{4\pi\epsilon_o\, r_{23}}\Bigr )}}$

Il lavoro totale è la somma dei tre appena calcolati

$\displaystyle{\mathbf{L_{tot}=L_1+L_2+L_3=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_o\, r_{12}}+\frac{q_1q_3}{4\pi\epsilon_o\, r_{13}}+\frac{q_2q_3}{4\pi\epsilon_o\, r_{23}}}}$

Mettiamo in evidenza quello che hanno in comune

$\displaystyle{\mathbf{L_{tot}=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\Bigl (\frac{q_1q_2}{r_{12}}+\frac{q_1q_3}{r_{13}}+\frac{q_2q_3}{r_{23}}\Bigr )}}$

Se guardate bene gli indici noterete che possiamo riscrivere l’espressione come sommatoria doppia

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\,\sum_{i=1}^n\sum_{j\neq i}\,\frac{q_i\, q_j}{r_{ij}}}}$

Abbiamo messo j ≠ i perchè non devono comparire i termini q₁q₁, q₂ q₂ , q₃ q₃ (una carica su se stessa non crea nulla). Attenzione, non abbiamo finito, con queste sommatorie, oltre al termine q₁q₂compare anche q₂ q₁ ecc… Questo doppio contributo non ci deve essere. Come lo risolviamo ? Basta dividere tutto per 2

$\displaystyle{\mathbf{L_{tot}=\frac{1}{2}\,\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\,\sum_{i=1}^n\sum_{j\neq i}\,\frac{q_i\, q_j}{r_{ij}}}}$

In questa relazione c’è una parte molto interessante

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\sum_{j\neq i}\,\frac{ q_j}{r_{ij}}}}$

Rappresente i contributi delle cariche j-esime nel punto dove si trova la carica i-esima. E’ il potenziale che le cariche j creano nel punto dove mettiamo la carica i-esima. Allora tutta questa parte la chiamiamo V_i

$\displaystyle{\mathbf{V_i=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\sum_{j\neq i}\,\frac{ q_j}{r_{ij}}}}$

Con questa posizione il lavoro totale diventa

$\displaystyle{\mathbf{L_{tot}=\frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^n\, q_i\, V_i}}$

Questo è il lavoro che dobbiamo compiere dall’esterno per creare la struttura dalla quale siamo partiti e che vale per n cariche, non solo tre. Questa è anche l’energia elettrostatica immagazzinata nel sistema.

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=L_{tot}=\frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^n\, q_i\, V_i}}$

Tutto questo vale se le cariche sono puntiformi. Se la carica è una distribuzione continua, alla sommatoria dobbiamo sostituire un’integrazione

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=L_{tot}=\frac{1}{2}\,\int V\, dq}}$

Praticamente facciamo la somma integrale delle cariche infinitesime dq. In particolare :

Se le cariche sono distribuite lungo una linea dq = λ dl

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=L_{tot}=\frac{1}{2}\,\int V\, \lambda\, dl}}$

Se le cariche sono distribuite su una superficie dq = σ dS

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=L_{tot}=\frac{1}{2}\,\int\!\!\!\int_S V\, \sigma\, dS}}$

Se sono distribuite in un volume dq = ρ dτ

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=L_{tot}=\frac{1}{2}\,\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{\tau} V\, \rho\, d\tau}}$

Purtroppo il caso che ci interessa è proprio quello tridimensionale, quello reale e che ci darà non pochi problemi, infatti sono arrivati i guai seri !

Dobbiamo scrivere l’espressione dell’energia elettrostatica, nel caso tridimensionale, in termini di campo elettrico E.

Sappiamo che la densità volumetrica di carica ρ è legata al campo elettrico, basta ricordarci la prima equazione di Maxwell ( Prima equazione di Maxwell )

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{E}}=\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\rho}{\epsilon_o}\,\,\Longrightarrow\,\, \rho =\epsilon_o\, div\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Sostituiamo nell’integrale triplo

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=L_{tot}=\frac{1}{2}\,\epsilon_o\,\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{\tau} V\, div\overrightarrow{\mathbf{E}}\, d\tau}}$

Utilizziamo ora le proprietà degli operatori ∇ nabla, divergenza e gradiente

$\displaystyle{\mathbf{div(V\overrightarrow{\mathbf{E}})=gradV\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}+Vdiv\overrightarrow{\mathbf{E}}\qquad\qquad (1)}}$

Come abbiamo ottenuto la relazione (1) ?

Prima di tutto cerchiamo di capire perchè possiamo esprimere la divergenza del campo elettrico nel modo seguente

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{E}}=\Bigl (\,\hat{i}\,\frac{\partial}{\partial x}+\hat{j}\,\frac{\partial}{\partial y}+\hat{k}\,\frac{\partial}{\partial z}\,\Bigr )\cdot\Bigl (\,\hat{i}\,E_x+\hat{j}\,E_y+\hat{k}\,E_z\,\Bigr )=\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Il primo termine tra parentesi tonde è l’operatore nabla ∇, il secondo è il vettore campo elettrico espresso mediante le sue componenti. Se svolgiamo quel prodotto scalare, rimangono solo i termini relativi alle moltiplicazioni con versori uguali. Mi spiego :

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases} \hat{i}\cdot\hat{i}=1\times1\times\cos0=1\\ \hat{j}\cdot\hat{j}=1\times1\times\cos0=1\\ \hat{k}\cdot\hat{k}=1\times1\times\cos0=1\end{cases}}}$

Tutti gli altri prodotti sono nulli. Riportiamo un solo caso come esempio

$\displaystyle{\mathbf{\hat{i}\cdot\hat{j}=1\times 1\times\cos90=0}}$

ecc ……

Di tutto quel prodotto scalare rimane

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}=div\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Quindi la divergenza di E la possiamo scrivere in quel modo

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{E}}=\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

A questo punto

$\displaystyle{\mathbf{div(V\overrightarrow{\mathbf{E}})=\nabla\cdot (V\overrightarrow{\mathbf{E}})=\nabla V\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}+V\,\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Tenendo conto che

$\displaystyle{\mathbf{\nabla V=gradV}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}=div\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Ecco che viene fuori la relazione (1) che riportiamo qui sotto

$\displaystyle{\mathbf{div(V\overrightarrow{\mathbf{E}})=gradV\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}+Vdiv\overrightarrow{\mathbf{E}}\qquad\qquad (1)}}$

Ricordate cosa è il gradiente di V ?

$\displaystyle{\mathbf{gradV=-\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Non sapete perchè ?

$\displaystyle{\mathbf{E_x=-\frac{\partial V}{\partial x}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_y=-\frac{\partial V}{\partial y}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_z=-\frac{\partial V}{\partial z}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{gradV=\nabla V=\hat{i}\,\frac{\partial V}{\partial x}+\hat{j}\,\frac{\partial V}{\partial y}+\hat{k}\,\frac{\partial V}{\partial z}=-\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Sostituiamo nella (1) al posto di gradV, -E

$\displaystyle{\mathbf{div(V\overrightarrow{\mathbf{E}})=-\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}+Vdiv\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Il prodotto scalare di un vettore per se stesso è il suo modulo al quadrato.

$\displaystyle{\mathbf{div(V\overrightarrow{\mathbf{E}})=-E^2+Vdiv\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Finalmente possiamo ricavare quello che cercavamo

$\displaystyle{\mathbf{Vdiv\overrightarrow{\mathbf{E}}=div(V\overrightarrow{\mathbf{E}})+E^2}}$

Questa la sostituiamo nella relazione

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=L_{tot}=\frac{1}{2}\,\epsilon_o\,\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{\tau} V\, div\overrightarrow{\mathbf{E}}\, d\tau}}$

che diventa

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\frac{1}{2}\,\epsilon_o\,\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{\tau} div(V\overrightarrow{\mathbf{E}})\,d\tau+\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{\tau} \frac{1}{2}\,\epsilon_o\, E^2 d\tau}}$

Ora una buona notizia, il primo integrale triplo è nullo, il perchè lo vediamo applicando il teorema della divergenza ( lo abbiamo spiegato nella lezione sulla Prima equazione di Maxwell

$\displaystyle{\mathbf{\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{\tau} div(V\overrightarrow{\mathbf{E}})\,d\tau=\int\!\!\!\int_{\Sigma}(V\overrightarrow{\mathbf{E}})\cdot \overrightarrow{\mathbf{n}}\, dS}}$

Il volume τ e la superficie Σ possono essere qualunque, li possiamo scegliere come ci pare. Se prendiamo un volume enorme (che tende all’infinito), anche Σ → ∞. Che succede al prodotto VE all’infinito ? Asintoticamente V si comporta come 1/r , mentre E si comporta come 1/r², quindi il loro prodotto

$\displaystyle{\mathbf{V\overrightarrow{\mathbf{E}}\propto \frac{1}{r^3}}}$

Per r → ∞ quel prodotto va a zero. Per l’energia elettrostatica si ha

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{\tau} \frac{1}{2}\,\epsilon_o\, E^2 d\tau}}$

Cerchiamo di capire cosa rappresenta il termine

$\displaystyle{\mathbf{ \frac{1}{2}\,\epsilon_o\, E^2 }}$

Questo termine moltiplicato per un volume ( dτ ) ci da un’energia ( U_el), quindi è una densità di energia.

Densità di energia elettrostatica

$\displaystyle{\mathbf{ W_E=\frac{1}{2}\,\epsilon_o\, E^2 \qquad\qquad \Biggl [\frac{Joule}{m^3}\Biggr ]}}$

L’energia elettrostatica, nello spazio, è legata alla presenza del campo elettrico. Dove c’è campo elettrico E c’è energia elettrostatica.

Eravamo partiti con la relazione

$\displaystyle{\mathbf{U_{e}=\frac{1}{2}\, \sum_{i=1}^nq_iV_i}}$

e siamo arrivati a quest’altra

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{\tau} \frac{1}{2}\,\epsilon_o\, E^2 d\tau}}$

La prima ci dice che c’è energia dove ci sono le cariche.

La seconda ci dice che c’è energia dove c’è un campo elettrico.

Le due relazioni sono complementari, possiamo usare sia l’una che l’altra per il calcolo dell’energia, ovviamente, se la distribuzione è continua, la prima va usata in una delle sue forme integrali (di linea, di superficie, di volume).

Abbiamo finito, nella prossima lezione vedremo l’utilizzo di quanto spiegato.