Traiettoria

Traiettoria – legge oraria

Cosa e’ una traiettoria ?

La traiettoria e’ la curva sulla quale si muove il punto materiale, essa descrive il moto del punto. La traiettoria e’ una cosa che noi conosciamo, e’ come un circuito automobilistico, sappiamo come e’ fatto, ma non sappiamo quanto tempo occorre a percorrerla e non conosciamo gli spazi percorsi in un dato tempo. L’equazione della traiettoria è la generica equazione di una curva nel piano x,y ossia f(x,y)=0 ( o anche in forma esplicita y = f(x) e contiene solo la geometria del movimento. Dobbiamo aggiungere una legge oraria, ossia un’equazione che ci dica come varia lo spazio percorso in funzione del tempo, s(t).

Aggiungendo all’equazione della traiettoria y = f(x) la legge oraria s(t) otteniamo l’analogo dei moti componenti,ossia possiamo usare un metodo o l’altro per studiare cosa fa il nostro punto materiale.

Se siamo nello spazio, invece che nel piano, l’equazione della legge oraria non subisce alcun cambiamento, invece l’equazione della traiettoria si. L’equazione di una curva nello spazio è data dall’intesezione di due superfici. Date due superfici, se le intersechiamo, otteniamo una curva

$\displaystyle{\begin{cases}\mathbf{f(x,y,z)=0}\\\mathbf{g(x,y,z)=0}\end{cases}}$

Questo sistema ci dà la traiettoria nello spazio.

Vediamo, con un esempio, come passare dai moti componenti alla traiettoria.

Dati i seguenti moti componenti

$\displaystyle{\begin{cases}\mathbf{x(t)=t-1}\\\mathbf{y(t)=-3t+1}\end{cases}}$

Vogliamo passare alla traiettoria. L’equazione della traiettoria è atemporale, ossia in essa non compare il tempo. Ricaviamo allora t dalla prima e la sostituiamo nella seconda equazione.

$\displaystyle{\begin{cases}\mathbf{t=x+1}\\\mathbf{y(t)=-3(x+1)+1=-3x-2}\end{cases}}$

L’equazione cercata è

$\displaystyle{\mathbf{y=-3x-2}}$

E’ l’quazione di una retta con pendenza -3, si tratta, quindi, di un moto rettilineo.

Ci manca la legge oraria.

Come si ricava la legge oraria ?

Per trovare la legge oraria basta notare che un qualunque spostamento ΔS puo’ essere decomposto in uno spostamento orizzontale ΔX e in uno verticale ΔY

Inoltre Pitagora ci dice che

$\displaystyle{\mathbf{\Delta s=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}}$

Per introdurre il tempo moltiplichiamo e dividiamo per Δt :

$\displaystyle{\mathbf{\Delta s=\frac{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}{\Delta t}\,{\Delta t}}}$

Se divido e moltiplico per una stessa quantita’ non ho cambiato nulla, lo posso fare. Ora aggiustiamo un po’ la frazione portando sotto radice il Δt che sta’ a denominatore

$\displaystyle{\mathbf{\Delta s=\sqrt{\frac{\Delta x^2}{\Delta t^2}+\frac{\Delta y^2}{\Delta t^2}}\,\Delta t}}$

sistemiamola ancora

$\displaystyle{\mathbf{\Delta s=\sqrt{\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}\right)^2+\left(\frac{\Delta y}{\Delta t }\right)^2}\,\Delta t}}$

Ora osserviamo che se abbiamo una curva qualunque

dove S_oe’ la posizione iniziale e S₁ e’ la posizione finale del punto dopo un certo tempo t, la possiamo spezzettare in tanti ∇S

piu’ sono numerose la suddivisioni della curva e meno errore commettiamo nell’approssinare la curva con la somma di tutti i ΔS rettilinei. Riducendo gli intervalli ad intervalli infinitesimi avremo

$\displaystyle{\mathbf{ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt}}$

Sommando tutti questi piccoli contributi otteniamo la curva percorsa

$\displaystyle{\mathbf{\int_{s_o}^{s(t)}\,ds=\int_{t_o}^{t_1}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt}}$

S_o e’ la posizione all’istante t=0, S(t) e’ la posizione all’istante t₁

Notare che nel primo integrale il dominio di integrazione e’ s, mentre nel secondo e’ t, nulla di strano, ogni integrale ha il suo dominio di integrazione. Risolvendo il primo integrale :

$\displaystyle{\mathbf{s(t)-s_0=\int_{t_o}^{t_1}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt}}$

Da cui ricaviamo S(t)

$\displaystyle{\mathbf{s(t)=s_0+\int_{t_o}^{t_1}}\mathbf{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt}}$

Dai moti componenti posso ricavare la legge oraria.

Applichiamo quanto visto all’esempio di prima:

$\displaystyle{\begin{cases}\mathbf{x(t)=t-1}\\\mathbf{y(t)=-3t+1}\end{cases}}$

Da queste ricaviamo le derivate di x e y rispetto al tempo

$\displaystyle{\mathbf{\frac{dx}{dt}=1\qquad \frac{dy}{dt}=-3}}$

Allora s(t) sarà pari a :

$\displaystyle{\mathbf{s(t)=s_0+\int_{t_0}^{t}\, \sqrt{10}\,dt=s_0+\sqrt{10}(t-t_0)}}$

Questa è la legge oraria. Quando è possibile, conviene porre s₀ = 0 e t₀ = 0.

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