Conservazione della quantità di moto (Liceo)

Questa lezione sulla quantità di moto e conservazione è per il liceo. Lo stesso argomento per Fisica 1 lo trovi a questi link Quantita’ di moto di un sistema di punti e Esempi c.d.m. e conservazione della quantita’ di moto.

La lezione scorsa abbiamo introdotto la quantità di moto . Questa è una grandezza vettoriale data dal prodotto della massa per la sua velocità.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{p}}=m\overrightarrow{\mathbf{v}}}}$

La quantità di moto è un vettore che ha la stessa direzione e lo stesso verso del vettore velocità.

Abbiamo anche definito la quantità di moto per più di una massa, ossia per un sistema di masse. La quantità di moto di un sistema è pari alla somma delle quantità di moto delle singole masse.

Dobbiamo ora approfondire il concetto di sistema e vedere, per particolari tipi, cosa accade alla quantità di moto. Lo facciamo con un esempio.

Masse e molla Consideriamo due masse m₁e m₂legate tramite un filo (verde), che tengono compressa una molla.

Le due masse, la molla e il filo costituiscono il nostro sistema. Vediamo quali forze agiscono su di esso. Ci sono le forze tra le masse e la molla, c’è la tensione del filo che tiene il tutto, c’è la forza peso e la reazione del pavimento. Tutte queste forze vengono distinte in forze interne e forze esterne al sistema.

Se la forza che agisce su un corpo del sistema è dovuta all’interazione con un altro corpo sempre del sistema, la forza è detta interna.

Nel nostro caso sono le forze tra molla e masse e tra filo e masse.

Se, invece, la forza è dovuta ad altri corpi che non fanno parte del sistema, la forza è esterna.

Quindi la forza peso e la reazione del vincolo (pavimento).

Può accadere che non ci siano forze esterne che agisco sul sistema, oppure che la loro risultante sia nulla (che è come non ci fossero), infine che le forze esterne possano essere ritenute trascurabili. In tutti questi casi il sistema è detto isolato.

Un sistema è detto isolato se su di esso non agiscono forze esterne o se la loro risultante è nulla o, anche, se tali forze sono trascurabili.

Nel nostro caso particolare, le forze esterne, forza peso delle masse e la reazione vincolare del pavimento, sono uguali ed opposte, quindi hanno risultante nulla. (Nel nostro studio consideriamo trascurabili le masse della molla e del filo). Il sistema è isolato.

Scriviamo la quantità di moto totale del sistema

$\displaystyle{\mathbf{p_i=m_1v_1+m_2v_2}}$

Usiamo i moduli delle grandezze vettoriali, siamo su una retta.

Questa quantità di moto è pari a zero dato che è tutto fermo, le due velocità sono nulle.

La scritta p_iindica la quantità di moto iniziale del sistema. Perché iniziale? Perché ora facciamo variare le condizioni del sistema, tagliamo il filo.

Se tagliamo il filo le due masse partono con velocità V₁e V₂nei due versi opposti. Questo è provocato dalla forza elastica della molla che la riporta alla sua lunghezza originale.

Scriviamo la quantità di moto del sistema dopo il taglio.

$\displaystyle{\mathbf{p_f=m_1V_1+m_2V_2}}$

Questa volta il pedice f sta per finale. Le velocità ora le indichiamo con le lettere maiuscole.

Le due masse hanno variato la propria quantità di moto, la prima è passata dal valore zero a m₁V₁, la seconda sempre dal valore zero a m₂V₂. Quello che vogliamo scoprire è se anche la quantità di moto totale del sistema è cambiata.

Sappiamo che chi fa variare la quantità di moto è l’impulso della forza

$\displaystyle{\mathbf{I=F\Delta t=\Delta p}}$

La forza che agisce sulla prima massa è la forza elastica

$\displaystyle{\mathbf{-F_{el}\Delta t=\Delta p_1=m_1V_1-m_1v_1=m_1V_1}}$

Abbiamo messo il meno perché il verso della forza è opposto a quello dell’asse x. Anche sulla seconda massa agisce la forza elastica.

$\displaystyle{\mathbf{F_{el}\Delta t=\Delta p_2=m_2V_2-m_2v_2=m_2V_2}}$

Dato che le due forze sono uguali ed opposte

$\displaystyle{\mathbf{m_1V_1=-m_2V_2}}$

Ma allora

$\displaystyle{\mathbf{p_f=m_1V_1+m_2V_2=0}}$

La quantità di moto iniziale era zero, quella finale è anche essa zero. Non c’è stata variazione.

In un sistema isolato, sul quale quindi non agiscono forze esterne, la quantità di moto totale si conserva.

Quella totale!!! La quantità di moto di ogni singola massa varia!

Questo concetto è generale, tutte le volte che abbiamo a che fare con un sistema isolato possiamo applicare la conservazione della quantità di moto.

Diamo dei valori numerici al nostro esempio.

m₁= 0,5 Kg ; m₂= 0,25 Kg ; V₁= -1,0 m/s

Quando tagliamo il filo la prima massa parte con velocità di -1,0 m/s. Quanto vale la velocità con la quale si sposta la seconda massa?

Il nostro sistema è isolato, applichiamo la conservazione della quantità di moto

$\displaystyle{\mathbf{p_i=p_f}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{p_i=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{p_f=m_1V_1+m_2V_2=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{m_1V_1+m_2V_2=0\, \Longrightarrow\, m_1V_1=-m_2V_2}}$ .

Ricaviamo V₂

$\displaystyle{\mathbf{V_2=-\frac{m_1}{m_2}\, V_1=-\frac{0,5Kg}{0,25Kg}\, (-1,0m/s)=2m/s}}$

Facile!

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