Energia elettrostatica di una sfera conduttrice

Tutta la teoria vista nella lezione precedente, ( Energia elettrostatica), la utilizziamo ora per il calcolo dell’energia elettrostatica di una sfera conduttrice.

Riportiamo tutto quello che sappiamo sul campo elettrico della sfera conduttrice.

Le cariche elettriche si distribuiscono sulla superficie della sfera. Il campo elettrico all’interno è nullo

$\displaystyle{\mathbf{per\,\, r<R\qquad E_{int}=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{per\,\, r>R\qquad E_{est}=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, r^2}}}$

Per il nostro calcolo abbiamo a disposizione tre metodi. Il primo è basato sull’integrazione, in tutto il volume dove è presente il campo elettrico, della densità di energia. Il secondo utilizza la dipendenza dal potenziale. Il terzo sfrutta il lavoro compiuto per costruire quella struttura (la sfera carica). Vediamo tutti e tre i metodi.

Metodo 1

Partiamo dalla relazione che lega l’energia elettrostatica alla densità di energia

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{\tau}\frac{1}{2}\,\epsilon_o\, E^2\,d\tau}}$

La densità di energia è

$\displaystyle{\mathbf{W_E=\frac{1}{2}\,\epsilon_o\, E^2}}$

Dato che, all’interno della sfera il campo elettrico è nullo, mentre all’esterno è dato dalla relazione riportata prima

$\displaystyle{\mathbf{W_{int}=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{W_{est}=\frac{1}{2}\,\epsilon_o\, \Biggl (\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\,r^2}\Biggr )^2=\frac{1}{2}\,\epsilon_o\, \Biggl (\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\,r^2}\Biggr )^2\,\frac{1}{r^4}}}$

La densità di energia diminuisce come 1/r⁴, l’andamento è come quello del campo elettrico, però scende più rapidamente con la distanza r.

Per calcolare l’energia elettrostatica necessaria a creare questa distribuzione di carica, dobbiamo integrare la densità di energia in tutto lo spazio dove è presente il campo elettrico E. (All’esterno della sfera).

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{\tau}W_{est}\,d\tau}}$

Se la sfera è non conduttrice, occorre integrare, invece, in tutto lo spazio, le cariche stanno anche dentro e il campo e non è nullo.

Abbiamo un integrale di volume (triplo) che però, dipende solo dal raggio. Come gia fatto altre volte, conviene integrare utilizzando le bucce sferiche che vanno dalla superficie della sfera fino all’infinito. Immaginate una cipolla dove ogni buccia (sferica) ha superficie 4 π r², al variare di r otteniamo tutto lo spazio attorno.

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{\tau}W_{est}\,d\tau=\int_R^{\infty} W_{est}\, (4\pi r^2)\, dr}}$

Siamo così passati da un integrale triplo ad uno lungo il raggio.

Sostituiamo a W_estla sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\int_R^{\infty}\frac{1}{2}\,\epsilon_o\,\Biggl (\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o}\Biggr )^2\, \frac{4\pi r^2}{r^4}\, dr}}$

Semplifichiamo il semplificabile e portiamo fuori dall’integrale tutto quello che non dipende da r

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\frac{1}{2}\,\frac{Q_{tot}^2}{4\pi\epsilon_o}\,\int_R^{\infty}\frac{dr}{r^2}=\frac{1}{2}\,\frac{Q_{tot}^2}{4\pi\epsilon_o}\,\Biggl [-\frac{1}{r}\Biggr ]_R^{\infty}=\frac{1}{2}\,\frac{Q_{tot}^2}{4\pi\epsilon_o}\,\frac{1}{R}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\frac{1}{2}\,\frac{Q_{tot}^2}{4\pi\epsilon_o}\,\frac{1}{R}}}$

Metodo 2

Usiamo la dipendenza dal potenziale. Dato che la distribuzione di carica è superficiale dobbiamo utilizzare la relazione con l’integrale superficiale.

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\frac{1}{2}\,\int\!\!\!\int_SV\sigma\, dS}}$

Se non la capite tornate alla lezione precedente.

Questa volta dobbiamo integrare dove c’è la carica (prima abbiamo integrato dove c’è il campo elettrico), quindi solo sulla superficie della sfera. Anche il potenziale è quello sulla superficie.

$\displaystyle{\mathbf{V=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, R}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\frac{1}{2}\,\int\!\!\!\int_SV\sigma\, dS=\frac{1}{2}\, V\int\!\!\!\int_S\sigma\, dS}}$

Abbiamo portato fuori il potenziale V dall’integrale perchè lungo la superficie è costante.

Ma chi è

$\displaystyle{\mathbf{\int\!\!\!\int_S\sigma\, dS}}$

non è altro che la carica totale, σ dS = dq che, integrato su tutta la superficie S ci da la carica totale.

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\frac{1}{2}\, V Q_{tot}= \frac{1}{2}\, \frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, R}\, Q_{tot}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}= \frac{1}{2}\, \frac{Q_{tot}^2}{4\pi\epsilon_o\, R}}}$

Siamo giunti alla stessa relazione trovata con il metodo 1.

Metodo 3

Questo metodo si basa sulla costruzione della carica sulla sfera, portando un dq alla volta dall’infinito fino alla superficie S.

Supponiamo di aver già portato la carica q

Aggiungiamo, di volta in volta, un dq di carica.

L’incremento di energia dU, lo troviamo tramite il lavoro da compiere per portare un dq dall’infinito fino alla superficie.

$\displaystyle{\mathbf{dU_{el}=Vdq=\frac{q}{4\pi\epsilon_o\, R}\, dq}}$

V è il potenziale dovuto alla carica portata prima di spostare dq

$\displaystyle{\mathbf{V=\frac{q}{4\pi\epsilon_o\, R}}}$

Quando abbiamo portato tutti i dq sulla superficie S, abbiamo l’energia totale

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\int_0^{Q_{tot}}\frac{q}{4\pi\epsilon_o\,R}\,dq=\frac{1}{4\pi\epsilon_o\, R}\,\int_o^{Q_{tot}}q\, dq=\frac{1}{2}\,\frac{Q_{tot}^2}{4\pi\epsilon_o\, R}}}$

Di nuovo abbiamo riottenuto lo stesso risultato, per il calcolo dell’energia elettrostatica di una sfera conduttrice, trovato con i metodi precedenti.