Urto elastico approfondimento

Una massa m viene lanciata con velocita’ V₀ verso un cuneo, in assenza di attriti

La massa m urta il cuneo e sale su di esso, vogliamo trovare a che altezza del cuneo arriva. Il cuneo non e’ fisso, e’ libero di muoversi. La massa m, mentre sale, genera delle reazioni che spingono il cuneo in avanti. Mentre m sale il cuneo si sposta nella direzione di V₀. Vediamo le forze che intervengono

Le reazioni Rn tra le due masse m e M sono interne al sistema. La R_N dovuta al piano e’ esterna al gruppo m e M. Ci sono inoltre le forze peso mg e Mg.

Applichiamo il teorema dell’impulso e della variazione della quantita’ di moto. L’impulso delle forze esterne, quindi l’integrale tra t₁ e t₂ delle forze esterne, (tempo di salita) e’ pari alla variazione della quantita’ di moto.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{I}}^{est}=\int_{t+1}^{t_2}(\overrightarrow{\textbf{R}}_N+m\overrightarrow{\textbf{g}}+M\overrightarrow{\textbf{g}})\,dt=\Delta\overrightarrow{\textbf{p}}_{sis}}}$ .

Stiamo vedendo la cosa come un urto di durata piuttosto lunga.

L’impulso delle forze esterne fa’ variare la quantita’ di moto del sistema che, quindi non si conserva. Notiamo pero’ che le forze esterne sono tutte lungo la verticale, se proiettiamo l’equazione lungo l’asse x, esse scompaiono dato che non hanno proiezione. Allora possiamo applicare la conservazione della quantita’ di moto lungo l’asse x.

$\displaystyle{\mathbf{I_x^{est}=\Delta p_x=0}}$ .

p_prima = p_dopo

mV₀ = (m + M) Vc

Dopo l’urto le due masse proseguono alla stessa velocita’, infatti la massa m, arrivata alla quota massima che puo’ raggiungere, si ferma ma non in assoluto, si ferma solo rispetto al cuneo. Possiamo ricavarci la Vc comune

$\displaystyle{\mathbf{v_c=\frac{mv_0}{m+M}}}$ .

Vediamo l’energia. In questo caso non possiamo parlare solo di energia cinetica, l’urto e’ piuttosto lungo, c’e’ una variazione di quota e l’energia potenziale varia. Parliamo allora di energia meccanica e dato che non ci sono attriti essa si conserva.

$\displaystyle{\mathbf{Prima\, : \, E_m=\frac{1}{2}\,mv_0^2\hspace{1cm}Dopo \, : \, E_m=mgh+\frac{1}{2}\, (m+M)\, v_c^2}}$ .

Combinando le equazioni della conservazione della quantita’ di moto e dell’energia meccanica troviamo l’altezza h raggiunta

$\begin{cases}\mathbf{ mv_0=(m+M)v_c} \\ \mathbf{\frac{1}{2}\, mv_0^2=mgh+\frac{1}{2}\,(m+M)v_c^2}\end{cases}$ .

Ricaviamo V_c dalla prima e la sostituiamo nella seconda

$\begin{cases}\mathbf{v_c=\frac{mv_0}{m+M}} \\ \mathbf{\frac{1}{2}\, mv_0^2=mgh+\frac{1}{2}\,\frac{m^2}{m+M}\, v_0^2}\end{cases}$ .

Dalla seconda troviamo h

$\displaystyle{\mathbf{mgh=\frac{1}{2}\, mv_0^2-\frac{1}{2}\, \frac{m^2}{m+M}\, v_0^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{mgh=\frac{1}{2}\, mv_0^2\left (1-\frac{m}{m+M}\right )}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{h=\frac{1}{2}\,\frac{v_0^2}{g}\,\frac{M}{m+M}}}$ .

Una volta arrivata alla quota massima h, la massa m ridiscende. Possono capitare esercizi in cui vengono richieste le velocita delle due masse dopo il distacco. Per studiare questa fase consideriamo come prima e dopo i momenti di figura

Conservazione della quantita’ di moto

$\displaystyle{\mathbf{mv_0=mV_1+MV_2}}$ .

Conservazione dell’energia

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\, mv_0^2=\frac{1}{2}\, m V_1^2+\frac{1}{2}\, MV_2^2}}$ .

L’energia potenziale non compare perche’ parto da quota zero e torno a quota zero. Elimino i fattori 1 / 2 e metto a sistema le due equazioni

$\begin{cases}\mathbf{mv_0=mV_1+MV_2} \\ \mathbf{mv_0^2=mV_1^2+MV_2^2}\end{cases}$ .

$\begin{cases}\mathbf{m(v_0-V_1)=MV_2} \\ \mathbf{ m(v_0^2-V_1^2)=MV_2^2}\end{cases}$ .

Facciamo ora il rapporto membro a membro tra le due equazioni ( la seconda diviso la prima)

$\displaystyle{\mathbf{\frac{v_0^2-V_1^2}{v_0-V_1}=V_2\hspace{0,5cm}\Longrightarrow \hspace{0,5cm} \frac{(v_0-V_1)\, (v_0+V_1)}{v_0-V_1}=V_2\hspace{0,5cm}\Longrightarrow\hspace{0,5cm}v_0+V_1=V_2}}$ .

Questa la mettiamo nell’equazione della conservazione della quantita’ di moto e troviamo

$\displaystyle{\mathbf{V_1=\frac{m-M}{m+M}\, v_0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_2=\frac{2m}{m+M}\, v_0}}$ .

Vediamo un altro caso che capita spesso negli esercizi. E’ il caso opposto all’urto perfettamente anelastico, dove due corpi si scontrano e si incastrano l’uno nell’altro procedendo insieme. Ora, invece, consideriamo due corpi che vengono separati e lanciati. Questo e’ ad esempio il caso di una esplosione, o quello (che poi e’ analogo all’esplosione) di due masse tenute da una fune che tiene compressa una molla.

Se tagliamo il filo l’energia elastica della molla compressa lancia le due masse in direzioni opposte

L’energia della molla si trasforma in energia meccanica delle due masse.

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=E_{molla}}}$ .

Il sistema e’ formato dalle masse m₁ , m₂ e dalla molla, lungo l’asse x non ci sono forze, possiamo applicare la conservazione della quantita’ di moto

m₁V₁ + m₂V₂ = 0

Mettiamo a sistema le due equazioni

$\begin{cases}\mathbf{m_1v_1+m_2v_2=0}\\ \mathbf{m_1v_1^2+m_2v_2^2=2E_{molla}}\end{cases}$ .

$\begin{cases}\mathbf{v_2=-\frac{m_1}{m_2}\, v_1} \\ \mathbf{m_1v_1^2+m_2v_2^2=2E_{molla}}\end{cases}$ .

$\displaystyle{\mathbf{v_1^2\left (m_1+\frac{m_1^2}{m_2}\right )=2E_{molla} \Longrightarrow v_1=\sqrt{2E_{molla}\frac{m_2}{m_1(m_1+m_2)}}}}$ .

Al posto dell’energia della molla ci puo’ stare una qualunque energia che provoca l’allontanamento delle due masse ( ad esempio energia chimica ), nel caso della molla sara’ l’energia potenziale elastica.

Dalla prossima lezione iniziamo lo studio dei momenti.

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