Urto elastico

Riprendiamo le nostre due masse e facciamole scontrare

Sappiamo che in tutti gli urti si conserva la quantita’ di moto del sistema (non delle singole masse), possiamo allora scrivere

$\displaystyle{\mathbf{m_1\overrightarrow{\textbf{v}}_1+m_2\overrightarrow{\textbf{v}}_2=m_1\overrightarrow{V}_1+m_2\overrightarrow{V}_2}}$ .

Se l’urto e’ elastico sappiamo che non c’e’ dissipazione di energia, l’energia cinetica si conserva. Se non sapete la differenza tra urto elastico e urto anelastico, gettate in terra una pallina di gomma e un bicchiere di vetro e lo capirete subito.

Scriviamo anche la conservazione dell’energia cinetica

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\,m_1\textbf{v}_1^2+\frac{1}{2}\,m_2\textbf{v}_2^2=\frac{1}{2}\,m_1V_1^2+\frac{1}{2}\,m_2V_2^2}}$ .

Analizziamo il caso unidimensionale, detto urto normale centrale

In questo caso non ci servono i vettori. Scriviamo la quantita’ di moto e l’energia cinetica prima dell’urto

$\displaystyle{\mathbf{p_{prima}=m_1v_1+m_2v_2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_{Cprima}=\frac{1}{2}\,m_1v_1^2+\frac{1}{2}\,m_2v_2^2}}$ .

Scriviamo ora le stesse quantita’ dopo l’urto

$\displaystyle{\mathbf{p_{dopo}=m_1V_1+m_2V_2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_{Cdopo}=\frac{1}{2}\,m_1V_1^2+\frac{1}{2}\,m_2V_2^2}}$ .

Applichiamo la conservazione della quantita’ di moto e dell’energia cinetica

$\begin{cases}\mathbf{\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1V_1^2+\frac{1}{2}m_2V_2^2} \\ \mathbf{m_1v_1+m_2v_2=m_1V_1+m_2V_2} \end{cases}$ .

Questo e’ un sistema di secondo grado, facciamo un po’ di trucchetti per risolverlo, dalla prima possiamo eliminare il fattore 1 / 2 che moltiplica tutti e portiamo tutto quello che ha indice 1 da una parte e lasciamo l’indice 2 dall’altra

$\begin{cases}\mathbf{m_1v_1^2-m_1V_1^2=m_2V_2^2-m_2v_2^2} \\ \mathbf{m_1v_1-m_1V_1=m_2V_2-m_2v_2} \end{cases}$ .

$\begin{cases}\mathbf{m_1(v_1^2-V_1^2)=m_2(V_2^2-v_2^2)} \\ \mathbf{m_1(v_1-V_1)=m_2(V_2-v_2)} \end{cases}$ .

Svolgiamo i quadrati dei binomi

$\begin{cases}\mathbf{m_1(v_1-V_1)(v_1+V_1)=m_2(V_2-v_2)(V_2+v_2)} \\ \mathbf{m_1(v_1-V_1)=m_2(V_2-V_2)} \end{cases}$ .

Dividendo membro a membro le due equazioni otteniamo

v₁ + V₁ = V₂ + v₂

Questa la mettiamo a sistema con una delle due di partenza, ovviamente con la piu’ semplice

$\begin{cases}\mathbf{v_1+V_1=V_2+v_2} \\ \mathbf{m_1v_1+m_2v_2=m_1V_1+M_2V_2} \end{cases}$ .

Ora il sistema e’ facilmente risolvibile per sostituzione o con Cramer e troviamo

$\displaystyle{\mathbf{V_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,v_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}\,v_2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_2=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\,v_2+\frac{2m_1}{m_1+m_2}\,v_1}}$ .

Vediamo dei casi particolari molto importanti

Caso m₂ >> m₁

e’ ad esempio il caso di un urto di una massa m₁ contro un muro elastico, Vediamo come diventano le espressioni di V₁ e di V₂dopo l’urto, ricordiamo che le velocita’ prima dell’urto vengono indicate con la lettera minuscola, quelle dopo l’urto con la lettera maiuscola.