Legge di Gauss flusso di un vettore

Prima di introdurre la legge di Gauss dobbiamo introdurre una nuova grandezza, il flusso di un vettore attraverso una superficie. Lo facciamo direttamente utilizzando il vettore campo elettrico E .

Consideriamo una superficie S posta in un campo elettrico E non uniforme. Prendiamo un elementino di superficie dS. In dS, essendo una superficie elementare, possiamo considerare il campo elettrico costante.

Disegniamo anche il versone n normale alla superficie S.

Definiamo flusso del vettore E attraverso la superficie elementare dS

$\displaystyle{\mathbf{d\phi =\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}\, dS}}$

Per avere il flusso totale dobbiamo integrare tutti i contributi dovuti a tutte le aureole dS, in pratica integrare su tutta la superficie S

$\displaystyle{\mathbf{\phi_S (\overrightarrow{\mathbf{E}})=\int_S\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}\, dS}}$

Φ_S(E) è il flusso del campo elettrico attraverso la superficie S.

E • n è il prodotto scalare di E per il versore normale alla superficie, questo prodotto, ovviamente dipende dall’angolo θ

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}=E\cos\theta}}$

Ricordiamo che il modulo di un versore è uguale a uno.

Dato che stiamo lavorando su una superficie, dobbiamo introdurre anche il concetto di angolo solido.

Angolo solido

Sappiamo che per un angolo piano c’è proporzionalità tra arco e angolo

$\displaystyle{\mathbf{\Delta\theta : \Delta L=2\pi : 2\pi R}}$

2π è l’angolo giro

2πR è la circonferenza

$\displaystyle{\mathbf{\Delta\theta=\frac{\Delta L}{R}}}$

Estendiamo questo concetto. Se siamo nello spazio, invece di una porzione di circonferenza prendiamo una porzione di sfera.

ΔΩ è un angolo solido.

Anche in questo c’è corrispondenza tra la superficie ΔS intercettata e l’angolo solido ΔΩ

$\displaystyle{\mathbf{\Delta\Omega : \Delta S = 4\pi : 4\pi R^2}}$

4π è l’angolo solido totale, questa volta non sono radianti, ma steradianti. Così come, convenzionalmente, si è posto pari a 2π radianti l’angolo giro nel piano, allo stesso modo si pone pari a 4π steradianti l’angolo completo nello spazio.

4πR² è la superficie della sfera.

Da quanto posto ricaviamo :

$\displaystyle{\mathbf{\Delta\Omega=\frac{\Delta S}{R^2}}}$

Se la nostra superficie non è una sfera le cose cambiano un pò, vediamo come.

Ora la nostra superficie non è sferica, quindi il raggio varia lungo ΔS. Consideriamo allora un raggio r medio.

C’è anche un altro problema, ΔS non è perpendicolare al raggio. Per rendere la superficie ortogonale al raggio la proiettiamo su una sfera

ΔS_n è la superficie normale al raggio

θ è l’angolo tra le due superfici ΔS e ΔS_n

Ora possiamo porre :

$\displaystyle{\mathbf{\Delta\Omega=\frac{\Delta S_n}{r^2}=\frac{\Delta S\cos\theta}{r^2}}}$

Vogliamo ora esprimere il cosθ. Lo facciamo tramite il versore r_oradiale (è la prosequzione del raggio) ed il versore n normale alla superficie ΔS

$\displaystyle{\mathbf{\hat{r}_o\cdot\hat{n}=r_o\, n\, \cos\theta= 1\times 1 \, \cos\theta=\cos\theta}}$

Il versore r_o lo possiamo anche esprimere come :

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r}}}$

infatti, questo appena scritto è un vettore che ha modulo 1 e verso di r, proprio come r_o . Quindi

$\displaystyle{\mathbf{\cos\theta=\hat{r}_o\cdot\hat{n}=\frac{\hat{n}\cdot\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r}}}$

In definitiva, per l’angolo solido si ha :

$\displaystyle{\mathbf{\Delta\Omega=\frac{\Delta S\cos\theta}{r^2}=\Delta S\,\frac{\hat{n}\cdot\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}}}$

Finalmente siamo pronti ad affrontare la legge di Gauss.

Consideriamo una carica sorgente +q ed una superficie che la racchiude. Indichiamo con ∑ questa superficie.

Vogliamo valutare il flusso del vettore campo elettrico E uscente dalla superficie ∑

Prendiamo un elementino di superficie dS, indichiamo con n la normale alla superficie. Il campo elettrico E sappiamo che è radiale esterno.

Abbiamo già dimostrato che per una carica q il campo elettrico è dato da :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{q}{4\pi\epsilon_o}\,\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}}}$

Calcoliamo il flusso del campo elettrico attraverso l’elementino di superficie dS

$\displaystyle{\mathbf{d\phi=\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}\, dS=\frac{q}{4\pi\epsilon_o}\,\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}\,\cdot\hat{n}\, dS}}$

Ora applichiamo la definizione di angolo solido al flusso elementare dΦ

$\displaystyle{\mathbf{d\Omega =\frac{\hat{n}\cdot\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}\, dS}}$

Dobbiamo ricordarci che il prodotto scalare è commutativo

$\displaystyle{\mathbf{\hat{n}\cdot\overrightarrow{\mathbf{r}}=\overrightarrow{\mathbf{r}}\cdot\hat{n}}}$

Sostituiamo nel flusso elementare

$\displaystyle{\mathbf{d\phi =\frac{q}{4\pi\epsilon_o}\, d\Omega}}$

Questo è il flusso elementare attraverso l’aureola dS. Esso è proporzionale all’angolo solido.

Per avere il flusso uscente da tutta la superficie dobbiamo integrare

$\displaystyle{\mathbf{\Phi(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\int_{\Sigma}\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}\, dS=\int_{\Omega_{tot}}\frac{q}{4\pi\epsilon_o}\, d\Omega=\frac{q}{4\pi\epsilon_o}\int_{\Omega_{tot}} d\Omega=\frac{q}{4\pi\epsilon_o}\, 4\pi=\frac{q}{\epsilon_0}}}$

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\frac{q_{int}}{\epsilon_o}}}$

Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie Σ è pari alla carica contenuta nella superficie diviso ε₀. Questo qualunque sia la superficie chiusa Σ che racchiude la carica.

Vediamo ora il valore del flusso del vettore campo elettrico quando la carica è esterna alla superficie Σ di Gauss.

Se la carica q è esterna alla superficie, avremo un flusso uscente da dS1, che chiamiamo dφ₁ e un flusso entrante dalla superficie dS₂.

$\displaystyle{\mathbf{d\phi_1=\frac{q}{4\pi\epsilon_o}\, d\Omega}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{d\phi_2=- \,\frac{q}{4\pi\epsilon_o}\, d\Omega}}$

Il flusso entrante è negativo perchè l’angolo tra il vettore campo elettrico e la normale alla superficie è maggiore di 90^o . Dato che l’angolo dΩ è lo stesso nei due casi, uscente ed entrante, si ha :

$\displaystyle{\mathbf{d\phi=d\phi_1+d\phi_2=0}}$

il flusso totale è :

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\int_{\Sigma}d\phi=0}}$

Se la carica è esterna il flusso attraverso la superficie è nullo.

Il flusso dipende soltanto dalle cariche interne alla superficie.