Energia – Caduta di un grave

Seguiamo la caduta di un grave, ad esempio di una pallina, da una certa quota y fino a quota zero.

Inizialmente la pallina e’ ferma a quota y, quindi e’ dotata di una energia potenziale U_y, questa energia e’ dovuta al solo fatto che si trova ad una certa quota. La pallina non ha energia cinetica perche’ e’ ferma, questa energia e’ legata al movimento. Fintanto che e’ ferma a quella quota ha solo energia potenziale. Quando invece si trova a quota zero non ha energia potenziale U_y = 0.

Vediamo cosa succede se lasciamo cadere la pallina. Prendiamo come asse l’asse z e partiamo da una quota h

h e’ la quota dalla quale lasciamo cadere la pallina, z e’ la quota generica e 0 e’ il punto dove tocca terra.

Mano a mano che cade essa acquista velocita’ e perde quota.

Studiamo i tre punti separatamente.

Quota h – Punto 1

E_C1 = 0 perchè la velocita’ iniziale e’ nulla

U₁ = m g h

E_m1 = E_C1 + U₁ = 0 + m g h l’energia meccanica al punto 1 e’ tutta dovuta all’energia potenziale.

Quota zero – Punto 3

$\displaystyle{\mathbf{E_{C3}=\frac{1}{2}\,mV_3^2}}$ .

Quando la pallina arriva a terra e’ dotata di una velocita’ V₃ ( la velocita’ si annulla dopo l’impatto a terra, quando arriva ha velocita’ eccome ! )

U₃ = 0 perche’ la quota h = 0

$\displaystyle{\mathbf{E_{m3}=U_3+E_{C3}=0+\frac{1}{2}\,mV_3^2}}$ .

Notiamo allora che l’energia potenziale U₁ si e’ trasformata in energia cinetica E_C3 . Dato che la forza peso P, che e’ quella che agisce sulla pallina, e’ conservativa, si deve conservare l’energia meccanica

E_m3 = E_m1

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\,mV_3^2=mgh}}$ .

L’energia potenziale nel punto di partenza e’ uguale all’energia cinetica nel punto di arrivo. Da questa relazione ci possiamo ricavare la velocita’ di arrivo a terra

$\displaystyle{\mathbf{V_3=\sqrt{2gh}}}$ .

Vediamo il punto generico z – Punto 2

U₂ = m g z

$\displaystyle{\mathbf{E_{C2}=\frac{1}{2}\,mV_2^2}}$ .

E_m2 = U₂ + E_C2 il valore dell’energia meccanica e’ sempre lo stesso dei punti 1 o 3, chi varia sono i valori di energia cinetica e potenziale e variano in modo tale che la loro somma resta costante. Possiamo quindi porre

E_m2 = E_m1

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\,mV_2^2+mgz=mgh\Longrightarrow \frac{1}{2}\,mV_2^2=mg(h-z)\Longrightarrow \frac{1}{2}\, V_2^2=g(h-z)}}$ .

Da questa ci possiamo ricavare la velocita’ nel punto 2

$\displaystyle{\mathbf{V_2=\sqrt{2g(h-z)}}}$ .

Notiamo come e’ semplice ricavarci la velocita’ in qualunque punto utilizzando la conservazione dell’energia meccanica. Durante il percorso l’energia cinetica e l’energia potenziale cambiano valore, ma l’energia meccanica rimane costante e pari a m g h, il valore di partenza. In h l’energia e’ tutta potenziale, nel punto generico e’ pari a U₂ + E_C2 , alla fine e’ tutta cinetica, E_m non e’ mai variata.

Vediamo un altro esempio

Consideriamo un punto materiale che si trova in un campo di forza conservativo e che l’energia potenziale varia secondo la figura sottostante

Per semplificarvi le cose potete vederlo come un profilo montano, non cambia nulla.

Nel punto 1 la massa e’ ferma e l’energia meccanica e’ tutta potenziale

E_m = m g h

Questo valore di energia e’ il massimo che possiamo avere, non lo possiamo superare, il punto non puo’ altri che scendere. Nel punto 2 (a valle) l’energia e’ tutta cinetica, li’ la massa non e’ ferma, anzi. La massa riesce ad arrivare al punto 3 perche’ ha energia sufficiente per farlo. Quello che non riesce a fare e’ superare il punto 4 perche’ non ha piu’ cinetica e perche’ quello e’ il suo massimo valore di energia. Quello che puo’ fare e’ soltanto tornare indietro.

Nella prossima lezione affrontiamo un esercizio di un grave che viene lasciato cadere lungo un pendio.

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Energia – Caduta di un grave

Prossima lezione Grave lungo un pendio